3.4. Численное дифференцирование

Численное дифференцирование – функция трудно (невозможно) продифференцировать аналитически (Ex – функция задана таблицей). Формулы численного дифференцирования используются при решении дифференциальных уравнений; поиск решений нелинейных уравнений; поиск точек экстремума функций и т.д.

1.1 Формулы численного дифференцирования

1.1.1 Вычисление 1^ой производной

Пусть f(x) дифференцируема в окрестности точки x. Из определения производной следует

Естественно использовать для вычисления 2 простейшие формулы:

и (1.1)

Соответственно выбору фиксированных значений , . Здесь h>0 (шаг).

Для оценки погрешностей

(*)

Воспользуемся формулами Тэйлора:

(**)

- некоторые точки в [x,x+h] и [x-h,x] соответственно подставляя (**) в (*) (1.2)

То есть формулы (1.1) имеют первый порядок точности по h.

Геометрия интерпретируется f’(x)=tg ,

= tg ₊; =tg _-

Естественно предположить, что лучшим приближением будет f’(x)

Подставляя в выражения для погрешности

.

Соответствующие разложения Тейлора:

, получим

;

Таким образом центральная разностная производная аппроксимирует f’(x) со вторым порядком точности относительно h.

1.2 Вычисление 2^ой производной.

Простая и применяемая формула

Подставляя в выражение для погрешности

Соответствующие разложения по формуле Тейлора:

Получим

Формула имеет 2^ой порядок точности.

Задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Решением обыкновенного ДУ первого порядка y’(t)=f(t,y(t)) (*) называется дифференциальная функция y(t), которая, при подстановке в (*), обращает его в тождество.

Чтобы выделить из семейства решений ДУ(*) одно конкретное, задают начальные условие y(t₀)=y₀ (**).

Задачу нахождения при t>t₀ решения y(t) ДУ (*), удовлетворяющего (**), называют задачей Коши.

Простейшие дискретный аналог ДУ (*) представляет собой уравнение

Покажем, что метод Эйлера имеет 1^ый порядок аппроксимации. Известно, что

, где t_n< <t_n+1

Учитывая равенство y’(t_n)=f(t_n,y(t_n)) для погрешности аппроксимации получаем

Поэтому , где , т.е. метод имеет 1^ый порядок аппроксимации.

Использование формулы Тейлора.

y’(t) – известна = f(t,y(t))

y”(t) = f’_t + f’_yy’ – дифференцирование сложной функции

y”’(t) = f⁽²⁾_tt + f⁽²⁾_tyy’ + (f⁽²⁾_yt + f⁽²⁾_yyy’)f + f’_y(f’_t + f’_yy’)

По мере роста порядка (р) усложняются выражения для производных. Недостаток метода Эйлера - значит-я погрешность – на практике редко используется. Желательно поправить расчетную формулу.

Пусть y(t) – решение ДУ y’(t)=f(t,y(t)), удовлетворяет условию y(t_n)=y_n

Пусть (1.3)

- угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (t_n, y(t_n)) и (t_n+1, y(t_n+1)) графика функции y(t). Ясно, что «метод» y_n+1 = y_n + hK_n имеет нулевую локальную погрешность. Следовательно нужно научиться вычислять значение K_n. Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница приходим к равенству

(1.4)

Из (1.3) и (1.4) следует K_n =

Примечание. Для приближенного вычисления интеграла формулы прямоугольников:

приводит к методу Эйлера.

Но больший порядок точности имеет формула трапеций:

Итого приходим к правилу трапеций:

Если подставим в правую часть значение y_n+1 «предсказанное» методом Эйлера, получим в результате метод Эйлера-Коши:

Этот метод относится к методам прогноза и коррекции.