- •11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- •12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- •13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- •14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- •15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- •16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- •17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- •18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- •19. Обчислення лишків
- •20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- •21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- •22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- •23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- •24. Тригонометричні ряди Фур’є
- •25. Абстрактні ряди Фур’є
- •26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- •27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- •Нерівність Бесселя
- •28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- •29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- •30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- •31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- •32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- •33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- •34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- •35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- •36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- •37. Властивоcті перетворень Лапласа
- •38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- •39. Згортка функції. Зображення згортки.
- •40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- •41. Лема Жордана. Формула обернення.
35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
Теорема (про збіжність інтеграла Фур’є в точці)
Нехай - абсолютно інтегрована на R, шматково-неперервна на скінченому інтервалі . Якщо вона задовольняє в т. умовам Діні , то її інтеграл Фур’є збігається в цій точці до .
Доведення
неперервна, вона інтегрована на скінченому відрізку ,
бо
стоїть в умові Діні, інтеграл прямує до 0.
, оскільки
, - абсолютно інтегровані . - теж абсолютно інтегровані. , =const.
Так як - залишок від інтегралу Діріхле . Інтеграл збігається, якщо залишок прямує до 0 (з означення збіжності інтеграла) . Теорему доведено.
Умови Діні виконуються для тих функцій, які задовольняють умовам Гьольдера: . Ці умови виконуються для функцій, які диференційовані скрізь і мають скінченні однобічні похідні.
(Функція не обов’язково є неперервно-диференційованою, але похідні справа і зліва існують).
Наслідок
Нехай - неперервно- і абсолютно інтегрована .Якщо в кожній точці функція f диференційована або має скінченні однобічні похідні, або задовольняє умові Гьольдера то вона може бути представлена своїм інтегралом Фурьє. .
36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
Перетворенням Лапласа називається функція комплексної змінної
(*). Якщо - інтегрована на кожному скінченому проміжку, то цей інтеграл збігається.Інтеграл збігається для функцій-оригіналів.
Оригіналом називається функція змінної t , що задовольняє:
1) - неперервна, або кусково-неперервна на кожному скінченому проміжку.
2) Обмежена на порядок росту на нескінченності.
3)
Число називається порядком росту функції .
Зображенням функції оригінала називається перетворення Лапласа цієї функції
. Позначається . - оригінал. - зображення.
Теорема
Якщо - оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа збігається рівномірно в півплощині і є аналітичною функцією в цій півплощині.
1)Доведемо, що цей інтеграл збігається .Це пов”язано з пунктом 2). Застосовуємо умову Вейєрштраса. Оскільки , то при маємо:
Інтеграл від більшого збігається, тому збігається і від меншого
2) Рівномірна неперервність
Розглянемо область . Нехай . Розглянемо область . як завгодно малих.
Рівномірно збігається на відкритій множині збігається на будь-якій замкненій множині, що належить цій відкритій множині.
Розглянемо внутрішню, заштриховану частину кута.
Тоді маємо збігається.Розглянемо залишок . Інтеграл Лапласа збігається для всіх виконується ( з означення збіжності інтеграла). - має похідну (інтеграл - це диференційована функція)
Ця нерівність виконується і для всіх р з внутрішньої частини кута.
обираємо
(область) таке, що для всіх
збіжність рівномірна збігається рівномірно на
3) Аналітичність
Якщо - оригінал , то - теж оригінал . Порядок росту не змінюється при множенні на , похідна існує, отже, функція аналітична.
Теорема
Якщо - зображення функції з показником росту , то
Доведення В півплощині виконується якщо модуль прямує до нуля, то і вся функція прямує до нуля. Оскільки аналітична на , то це означає, що Якщо аналітична, то інтеграл не залежить від щляху інтегрування, а лише від початкової і кінцевої точок.
Наслідок
, або не можуть бути зображеннями, оскільки , тобто не виконується необхідна умова.