Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_ekzamen_vyshka_sem_3_1.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
24.04.2019
Размер:
1.04 Mб
Скачать

1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.

 Определенный интеграл функции одной переменной обычно вводится на основе решения задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.

Аналогично этому вводится двойной (определенный) интеграл: .

Рассмотрим задачу о приближенном вычислении объема цилиндрического тела (рис. 2.1), ограниченного снизу плоской областью D, расположенной на плоскости Оxy, сверху - поверхностью, заданной уравнением z=f(x;y), (x;y) D, где функция f(x;y) - непрерывна и положительна на D; а сбоку - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, проходящими через всю границу Г области D.

Объем V этого тела будем находить приближенно, произвольно разбив его вертикальными плоскостями на большее число n мелких вертикальных "частей" (как режут картофель на мелкие длинные кусочки).

Одна из таких частей выделена на рис. 2.1. Ее объем ΔVi можно приближено посчитать как объем призмы (считая, что ее "крыша" - плоская): ΔVi≈ΔSi·hi, где ΔSi - площадь основания Δσi, hi - средняя высота, т. е.

Тогда объем V всего цилиндрического тела:

то есть получена интегральная сумма.

Далее: при n и при уменьшении всех площадей ΔSi до нуля Получим:

Получен предел (2.1) интегральной суммы, который обозначается через и называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D.

Замечание:

в этой задаче предполагалось, что подынтегральная функция положительна и непрерывна на D.

В общем же случае имеем:

Определение

Пусть f(x;y), x D, - произвольная функция на D. Разобьем область D произвольным образом на части Δσ1, Δσ2,..., Δσn. Их площади обозначим соответственно ΔS1, ΔS2,..., ΔSn. Внутри каждой Δσi произвольно выберем точку Mi(ξi;ηi) и составим интегральную сумму:

Если существует предел: 

интегральной суммы, причем, этот предел не зависит от способов разбиения D на части Δσ1, Δσ2,..., Δσn, а также от произвола в выборе точек Mi(ξi;ηi), то этот предел обозначается через и называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом функция f(x;y) называется интегрируемой по области D.

Теорема

Если f(x;y) непрерывна на D, то она интегрируема по D.

Без доказательства.

 

Определение

Если подынтегральная функция f(x;y) непрерывна на D, то двойной интеграл называется собственным двойным интегралом, а если внутри D или на ее границе Г есть точки разрыва f(x;y), то двойной интеграл называется несобственным (он может существовать, а может и не существовать, но эта тема в данном пособии не рассматривается).

В дальнейшем полагаем, что все рассматриваемые в этой главе функции интегрируемы по D.

2.Свойства двойного интеграла

1. Геометрический смысл двойного интеграла.

Если z=f(x;y) - положительна на D, то интеграл равен объему цилиндрического тела, изображенного на (рис.2.1):

2. - площадь области D.

Доказательство

Здесь , которое ограничено: снизу - областью D на плоскости Оxy, сверху - поверхностью z=f(x;y), но z=1 это цилиндрическое тело есть прямой цилиндр высоты Н = 1 с основанием D что и требовалось доказать.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]