25. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. 

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так: dy=ƒ'(х)dх, иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du, du=f(u)du так как u'dx = du. То есть

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

26. Теорема о связи дифференцируемости функции и существовании производной (доказательство).

Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и , тогда функция f(x) дифференцируема в точке  тогда и только тогда, когда у неё в точке  существует производная.

Доказательство:

 пусть функция f дифференцируема в точке , тогда её приращение по определению представимо в виде:

.

, то есть производная существует.

Пусть у функции f(x) в точке  существует производная, то есть существует конечный предел .

.

.Теорема доказана.

??? Теорема Ферма (об обращении производной в нуль). Графическая интерпретация.

Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x₀ ϵ (a,b), принимает в точке x₀ наибольшее или наименьшее значение, то f¢(x₀)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f¢(x₀+0)= ³ 0, f¢(x₀-0)= £ 0 Þ f¢(x₀)=0

 

Геометрическая интерпретация

???Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Геометрическая интерпретация.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Доказательство

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:

что и требовалось доказать.

??? Вывод формулы Маклорена для полинома.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

??? Формула Тейлора для гладкой функции. Представления остаточного члена.

 Формула Тейлора

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В форме Пеано:

при

В интегральной форме: