Тема 6. Неопределенный интеграл

Определение Функция называется первообразной по отношению к функции , если дифференцируема и выполняется условие . Очевидно, что , где С – любая константа.

Определение Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен .

Основные правила интегрирования

1. , , где С – произвольная постоянная

2. , где А – постоянная величина

3.

4. Если и - дифференцируемая функция, то

В частности,

Таблица простейших интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Тема 7. Функция двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости

Определение Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у. Частной производной по у называется производная

вычисленная при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:

Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.

Определение Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных:

Этот вектор указывает в точке М₀ направление наискорейшего роста функции .

Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:

где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а ─ угол между градиентом и направлением .

Тема 8. Числовые и степенные ряды

Определение Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, соединенных знаком сложения:

(1)

Определение Если существует предел S = , то ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда; если предела не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

1. Признак сравнения: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

= a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1)

= b₁ + b₂ + … + b_n + …, где b_n ≥0, (2)

Если b_n ≤ a_n для любого n, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит сумму ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

2. Признак Даламбера:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1) с положительными членами. Допустим, что существует и = b. Тогда:

а) если в<1, то ряд (1) сходится;

б) если в>1, то ряд (1) расходится.

3. Признак Коши:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1) с неотрицательными членами. Допустим, что существует и = b.Тогда:

а) если b < 1, то ряд (1) сходится;

б) если b > 1, то ряд (1) расходится.

4. Интегральный признак сходимости:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + + a_n + …, с положительными членами, причем a₁ > a₂ > a₁ > a₃ > …> a_n > …и f(n) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(n) = a_n. Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Определение Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следует друг за другом поочередно.

Теорема Лейбница:

Знакочередующийся ряд a₁ – a₂ + a₃ – a₄ +…+ + … сходится, если:

а) его члены убывают по модулю, a₁ ≥ a₂ ≥ a₁ ≥ a₃ ≥ …≥ a_n ..;

б) его общий член стремится к нулю, = 0. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0≤ S≤ a_1.

Определение Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.