5. Электростатика проводников. Основные закономерности электростатических полей.

5.1. Свойства электростатического поля. Электростатическое поле проводников, расположенных в диэлектрике. Предмет макроскопической электродинамики составляет изучение электромагнитных полей в пространстве, заполненным веществом. Вид уравнений Максвелла (как отмечалось выше, существует четыре эквивалентные формы записи уравнений) зависит от физической природы материальной среды. По этой причине целесообразно производить исследования для каждой категории физических объектов в отдельности. В отношении электрических свойств среды делятся на две категории: проводники и изоляторы (диэлектрики). Первые отличаются от вторых тем, что электрическое поле вызывает в них направленное движение свободных зарядов – электрический ток проводимости. Не слишком сильные электрические поля не вызывают ток в диэлектрике. В сильных электрических полях возникает электрический ток и даже возможен пробой диэлектрика. На первом этапе изучим те свойства проводников и диэлектриков, которые не зависят от деталей их структуры. Сначала рассмотрим основные следствия, вытекающие из уравнений Максвелла в электростатической ситуации, когда заряды неподвижны и токи отсутствуют

,

.

Эта система уравнений не замкнута, она содержит, две векторные неизвестные функции и одну скалярную . Для описания электростатических задач в конкретных средах необходимо добавить материальные соотношения . При наличии границ раздела сред еще нужно добавить граничные условия

Из условия неподвижности зарядов и отсутствия токов следует отсутствие магнитного поля и поля магнитной индукции.

Следствием уравнения является отсутствие циркуляции, поле потенциально

.

Поле перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям , так как вектор ортогонален поверхностям .

Не трудно убедиться, что работа электростатической силы по перемещению единичного заряда из точки в точку не зависит от пути перемещения , а определяется только положением точек и : .

В случае замкнутого контура , и работа равна нулю.

Рассмотрим основные положения, вытекающие из электростатики, применительно к заряженным проводникам, расположенным в идеальном диэлектрике, в котором нет свободных зарядов. Исследуем ситуацию, когда внутри проводников нет сторонних источников.

1. Напряженность электрического поля внутри проводника должна равняться нулю, так как отличное от нуля электрическое поле привело бы к возникновению тока в этом проводнике. Протекание же тока в проводнике связано с диссипацией энергии и потому не может само по себе (без сторонних источников) поддерживаться в стационарном состоянии, значит . Из условия следует, что внутри проводника и на его поверхности. По этой причине поверхность проводника эквипотенциальна.

2. Следствием того, что в состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю, является отсутствие объемных зарядов в проводнике . Действительно, если в толще проводника провести произвольную замкнутую поверхность, то на этой поверхности электрическое поле равно нулю, равен нулю и поток напряженности поля через эту поверхность. Согласно теореме Гаусса, следует отсутствие зарядов внутри такой произвольной замкнутой поверхности. Все заряды в проводнике вытесняются на его поверхность и распределены там таким образом, чтобы, создаваемые ими внутри проводника поля взаимно компенсировались.

3. Таким образом, задача электростатики проводников сводится к определению электрического поля вне проводников в диэлектрике, и к определению распределения зарядов по поверхности проводников.

4. Согласно граничному условию тангенциальная компонента вектора электрического поля непрерывна при переходе через границу раздела сред. В проводнике . Значит, тангенциальная компонента вектора электрического поля на поверхности проводника равна нулю. В противном случае происходило бы непрерывное движение зарядов вдоль поверхности, а это невозможно из-за наличия потерь и это противоречит понятию электростатики (отсутствие токов). Таким образом, вне проводника вблизи его поверхности электрическое поле направлено нормально к поверхности проводника. Этот вывод согласуется с ортогональностью электрического поля эквипотенциальным поверхностям (поверхность проводника эквипотенциальна).

5. Из граничного условия

с учетом того, что внутри проводника , получим соотношение на границе раздела

(5.1)

6. Соотношение (5.1) позволяет установить связь между полным зарядом на поверхности проводника и потенциалом электрического поля. Если проводник окружен однородным диэлектриком, в котором нет пространственной дисперсии, то в рамках линейной электродинамики . Если то условие (5.1) дает представление

.

Интегрируя это равенство по поверхности проводника , получим запись закона Кулона в терминах потенциала

(5.2)

7. Так как электрическое поле и объемная плотность зарядов внутри проводника равны нулю, то при удалении из проводника части вещества, поле в возникшей полости по - прежнему остается равным нулю. Этот факт лежит в основе способа электростатической защиты. Для защиты объекта от действия электростатических полей следует окружить его металлической оболочкой. Если оболочку сделать в виде сетки, то «провисание» электрического поля внутрь оболочки будет происходить на расстояние, сравнимое с размером отверстия.

8. Рассмотрим проводник, состоящий из двух металлических сфер радиусов и , соединенных тонкой проволокой. Потенциалы этих сфер должны быть одинаковыми, так как они соединены проводником

. (5.2а)

В (5.2а) равенства тем точнее, чем тоньше радиус проволоки. Так как

,

то следствием (5.2а) и граничного условия (5.1) является соотношение

.

Этот результат верен и в общем случае: чем меньше радиус кривизны проводника, тем больше напряженность поля вблизи него и тем больше поверхностная плотность заряда. Поэтому особенно велики эти значения вблизи острых краев проводников.

5.2. Электростатическая индукция. Выясним, что произойдет, если незаряженный проводник внести в электростатическое поле, созданное внешними (сторонними зарядами), положение которых зафиксировано. Электростатическое поле внутри проводника равно нулю. Но до внесения проводника, поле в объеме, который впоследствии занимает проводник, было отлично от нуля. В окончательном состоянии это поле обращается в ноль. Следовательно, на проводнике, внесенном в электростатическое поле, должны возникнуть электрические заряды, поле которых, накладываясь на поле сторонних зарядов, должно приводить к полной компенсации поля внутри проводника. Это явление – возникновение зарядов на проводнике, внесенном в электростатическое поле, - называется электростатической индукцией. Из закона сохранения заряда следует, что суммарный заряд, индуцируемый на проводнике должен быть равен нулю. Вычисление плотности поверхностных зарядов на проводнике помещенном в электрическое поле, в общем случае представляет собой сложную задачу.

5.3. Электрическая емкость проводника. Во многих задачах электростатики важную роль играет понятие емкости проводника и емкости системы проводников в диэлектрике. Если на уединенный проводник передать заряд, то он распределится по поверхности проводника так, что поверхность станет эквипотенциальной. Так как электрическое поле выражается через градиент потенциала, то потенциал можно задавать с точностью до постоянного слагаемого. Будем считать потенциал, создаваемый зарядом на проводнике, равным нулю на бесконечном расстоянии от проводника. Как отмечалось выше, рассмотрение будет ограничено рамками линейной электростатики. Тогда, если увеличить в несколько раз заряд проводника, во столько же раз увеличится и потенциал проводника

, ,

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от формы и размера проводника и не зависящий от величины заряда в рамках линейной электростатики. Коэффициент называют электрической емкостью, или просто емкостью. Единицу емкости в системе СИ называют фарад ( ); . С учетом (5.2) получаем представление

.

Для системы из проводников линейная связь между - зарядом - го проводника и потенциалами всех проводников описывается с помощью коэффициентов взаимной емкости

.

Здесь - вектор с компонентами .

Если приблизить к заряженному проводнику другие незаряженные проводники, то его потенциал уменьшится, так как на соседних проводниках индуцируются заряды. При этом, ближе к заряженному проводнику индуцируются заряды противоположного знака. Это уменьшение потенциала заряженного проводника при приближении к нему незаряженных проводников можно интерпретировать, как увеличение емкости заряженного проводника. Особенно сильно увеличится емкость проводника, если его окружить заземленным проводником. В этом случае индуцированные на замкнутом проводнике заряды того же знака, что и заряд внутреннего проводника, уйдут в землю. Общий индуцированный заряд противоположного знака по модулю равен заряду внутреннего проводника., так как все силовые линии, исходящие из внутреннего проводника, заканчиваются на окружающем его проводнике.

В случае двух проводников с зарядами и , заряд пропорционален разности потенциалов этих проводников. Отношение заряда к разности потенциалов называют емкостью системы, а саму систему – электрическим конденсатором. Емкость конденсатора

определяется только геометрией проводников (обкладок конденсатора) и не зависит от заряда в рамках линейной электростатики.

В качестве примера определим емкость элемента длины бесконечного коаксиального кабеля (Рис.5.1). Обозначим - радиусы внутреннего и внешнего проводников, между которыми находится однородный диэлектрик без пространственной дисперсии. Считаем, что заряды проводников на отрезке длины кабеля имеют значения и ( ). По определению емкости имеем

.

Для нахождения потенциала воспользуемся формулой

,

и получим

. (5.3)

Найдем зависимость от радиуса , воспользовавшись первичной (интегральной) формой уравнения

.

Соответствующая форма имеет вид

. (5.4)

В качестве объема возьмем концентрический с коаксиальным кабелем цилиндр радиуса ( ) и длины . Формула (5.4) принимает вид

,

.

Подставляя это выражение в (5.3) получаем представление для емкости отрезка коаксиального кабеля

.

Величина емкости увеличивается при уменьшении расстояния между обкладкам конденсатора

5.4. Электростатическая энергия проводников. Теорема Ирншоу. При переносе на проводник новых зарядов, на них действует сила отталкивания со стороны уже находящихся на проводнике зарядов. Для преодоления этой силы необходимо совершить работу. В процессе зарядки проводника, одновременно происходит передача ему энергии.

1). Рассмотрим ситуацию, когда отсутствует внешнее электростатическое поле. Пусть на проводник переносится заряд и пусть это происходит в электростатическом поле только этого заряда в отсутствии внешнего поля. При этом совершается работа

,

где - емкость проводника, - элемент длины пути. Полная работа при дополнительной зарядке проводника на величину в линейной электростатике имеет вид

.

Эта работа переходит в электростатическую энергию проводника. Если учесть соотношение , где - потенциал проводника, имеющего заряд , , то можно получить дополнительные выражения для энергии проводника

.

Следует отметить наличие множителя в последней формуле, Это произошло из-за того, что потенциал создавался самим зарядом в отсутствии внешнего поля.

2). Определим теперь дополнительную энергию передаваемую проводнику за счет перемещения заряда во внешнем поле . Если потенциал создается посторонними зарядами (сторонним полем), то дополнительная энергия заряда в таком поле составляет величину . В самом деле, совершаемая в такой ситуации работа на участке пути имеет вид

,

где не зависит от величины заряда . Полная работа в такой ситуации имеет вид .

Если имеется несколько проводников с зарядами и - потенциалы этих проводников, создаваемые всеми зарядами, то их электростатическая энергия представляется в виде

,

в частности для конденсатора имеем

,

где - заряд одной обкладки, - потенциалы обкладок, - емкость конденсатора.

В разделе (3.3) было получено следующее выражение для плотности электрической энергии в среде с диэлектрической проницаемостью

,

значит, энергия плоского конденсатора, с учетом того, что между обкладками конденсатора , имеет представление

, (5.5)

где - площадь обкладки, - расстояние между обкладками, - объем между обкладками.. Напомним связь электрического поля с поверхностной плотностью зарядов на поверхности проводника :

.

Так как - напряженность поля, создаваемого одной пластиной конденсатора, то каждая из пластин испытывает со стороны другой пластины силу притяжения

, (5.5a)

где учтено, что .

Сравнение правых частей равенств (5.5) и (5.5а) показывает, что работа по раздвижению пластин на расстояние совпадает с энергией (5.5)

.

На заряженный проводник действуют силы со стороны им же создаваемого поля. Заряды находятся на поверхности проводника, и они отталкиваются друг от друга. Значит, эти силы приложены к поверхности, то есть носят характер сил натяжения или внутреннего давления. На единицу поверхности действует сила

(5.6)

где - единичная внешняя нормаль к поверхности проводника. На поверхности проводника действуют силы «отрицательного давления», направленного по внешней нормали.

Множитель входит в (5.6) потому, что нужно учитывать только поле, которое создается всеми элементами поверхности за вычетом рассматриваемого элемента, а это поле равно половине полного поля.

Под действием электрических сил происходит деформация проводника (изменение объема и формы), это явление называется электрострикцией. Ввиду растягивающего характера сил, объем проводника увеличивается. Если деформация слаба, то влияние изменения формы на изменение объема является эффектом второго порядка малости. В первом приближении изменение объема можно рассматривать как результат деформирования без изменения формы (всестороннее растяжение под действием некоторого избыточного давления равномерно распределенного по поверхности тела).

3). Теорема Ирншоу. Энергия взаимодействия системы зарядов имеет вид

, (5.7)

где - потенциал электрического поля, действующего на заряд. Покажем, что энергия (5.7) не имеет минимума как функция координат (это теорема Ирншоу).

Условие наличия минимума дается системой уравнений

,

однако, эти условия не выполняются, так как потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона

.

Значит, . Таким образом, система заряженных частиц и тел не может находиться в равновесном состоянии под действием сил только электростатической природы. Для обеспечения равновесия необходимы силы иной (не электростатической) природы.

Приведем без доказательства два утверждения, характеризующие электростатическую энергию проводников

1. Заряды, вносимые на проводники, располагаются на их поверхностях таким образом, чтобы энергия возникающего электростатического поля была минимальной (теорема Томсона).

2. Внесение незаряженного проводника в поле фиксированной совокупности зарядов всегда приводит к уменьшению энергии поля.

5.5. Методы решения электростатических задач. Задачи электростатики сводятся к решению уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на некоторых поверхностях. Эти вопросы изучаются в курсе математической физики, здесь ограничимся указанием некоторых простых приемов и решением типичных задач.

Метод изображений. Этот метод основан на том, что в электростатическом поле любую эквипотенциальную поверхность можно заменить проводящей поверхностью с тем же потенциалом. При этом поле в пространстве не изменяется. Если интересоваться полем только с одной стороны такой проводящей поверхности, то всю часть пространства по другую сторону этой поверхности можно считать проводящей. Таким образом, задаче о поле зарядов при наличии проводящего тела можно сопоставить эквивалентную задачу о поле в пространстве без проводника, но с дополнительными зарядами (изображениями), которые создавали бы на поверхности, совпадающей с поверхностью проводника, тот же самый потенциал, каким обладал проводник. При рассмотрении задач электростатики диэлектриков (раздел 6.2) также используется метод изображений, но с несколько иной идеологией.

Простейший пример построения изображения точечного заряда в случае проводящей плоскости приведен на Рис. 5.4.

Решим с помощью метода изображений более сложную задачу о поле точечного заряда при наличии проводящего шара. Начало системы координат выберем в центре шара. Радиус его обозначим через (Рис. 5.5). В точке расположен точечный заряд . Необходимо найти потенциал . Возможна постановка двух задач (типа А и типа Б).

Задача типа А). На поверхности шара задан потенциал , в частности . Последнее условие может создаваться за счет заземления.

Задача типа Б). На изолированном шаре помещен заряд .

Задача типа А). Рассмотрим случай задания на поверхности шара граничного условия и найдем положение (см. Рис. 5.6) и величину мнимого заряда (изображения) , при котором обеспечивалось бы выполнение этого граничного условия в отсутствие проводящего шара. Расстояния зарядов и до точки наблюдения обозначим соответственно . Окончательный результат будет иметь вид

,

где и - неизвестные величины.

Сначала выберем точку в произвольном месте на поверхности шара . Расстояние зарядов и до поверхности шара обозначим через и . На поверхности шара должно выполняться условие :

,

из которого следует представление

, (5.9)

Так как , то имеем соотношение .

Из формулы (5.9) видно, что знак изображения («зеркального») заряда противоположен знаку заряда и величина отношения не зависит от положения точки на поверхности шара. Заряд должен находиться внутри шара на линии, соединяющей центр шара с зарядом . Найдем теперь положение (см. Рис. 5.6) заряда .

С этой целью рассмотрим две частные ситуации расположения точки наблюдения на поверхности шара. Сначала выберем положение точки наблюдения , как показано на Рис. 5.6. Тогда для точки имеем:

, ,

Для точки наблюдения имеем

, ,

Приравнивая полученные для точек и отношения , получим положение заряда – изображения и величину . Величина заряда представляется в виде

.

Найденный фиктивный заряд в совокупности с зарядом обеспечивает выполнение граничного условия . Следовательно, в произвольной точке потенциал имеет представление

,

которое дает решение рассматриваемой задачи.

Если на поверхности сферы задано условие , то для выполнения этого условия в центр шара необходимо поместить дополнительный фиктивный точечный заряд . Решение такой задачи выразится суммой потенциалов от трех точечных зарядов (одного реального и двух фиктивных)

.

Задача типа Б). На проводящем шаре задан полный заряд . Сначала исследуем случай разряженного шара: на поверхности шара. Решение такой задачи сконструируем из решения для случая . Чтобы удовлетворить условию , добавим к заряду еще один фиктивный заряд , поместив его в центр шара. При этом полный заряд на поверхности шара равен нулю. Тогда решение для потенциала вне шара примет вид

.

Если на поверхности шара задан полный заряд , то тогда в центр шара поместим фиктивный заряд , это обеспечит выполнение условия . Решение этой задачи имеет вид

.

Отметим в заключение, что метод изображений имеет ограниченную область применения, так как в случае сложных форм проводников нахождение изображения зарядов оказывается весьма трудной задачей. Но при простых границах проводников этот метод позволяет быстро получать решения, имеющие к тому же простой физический смысл.

Метод инверсии. Это простой метод, который позволяет по известному решению одной электростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариантность уравнения Лапласа к определенному преобразованию переменных (преобразование инверсии). Например, в сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид

,

где - угловая часть оператора Лапласа. Это уравнение сохраняет свою форму, если вместо переменной ввести новую переменную , такую, что имеет место пропорциональность :

, ,

где - радиус инверсии

Для сохранения формы уравнения Лапласа необходимо одновременно сделать замену неизвестной функции

.

Такое преобразование координат и потенциала меняет фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Меняются величины и расположение всех точечных зарядов. Граничное условие на поверхности проводника автоматически выполняется новым решением . Таким образом, по известному решению находится еще новое решение

.

Метод разделения переменных. Решение, зависящее от нескольких переменных, строится в виде суперпозиции вспомогательных функций, представляющих собой произведения функций. Каждая из последних функций зависит только от одной переменной. В уравнении для вспомогательных функций происходит разделение переменных. Этот метод применяется также в задачах электростатики диэлектриков (раздел6.3) и в задачах электродинамики, когда поля зависят от времени.

Применение метода рассмотрим на примере задачи о влиянии проводящей сферы (Рис. 5.7) на внешнее постоянное поле , ( ). Решение задачи должно обладать свойством осевой симметрии, оно удовлетворяет уравнению Пуассона в области вне заряженных тел. В сферической системе координат имеем уравнение

, (5.10)

где проводящая сфера является координатной поверхностью . Рассмотрим ситуацию заземленной сферы: ,

, .

Потенциал такой задачи можно представить в виде суммы потенциала внешнего поля и потенциала , описывающего влияние металлической сферы. Потенциал удовлетворяет уравнению (5.10) и граничному условию, соответствующему заземлению сферы

.

Частное решение (из суперпозиции таких решений будет строиться ) уравнения (5.10) возьмем в виде произведения двух функций, зависящих от одной переменной

.

В уравнении для происходит разделение переменных и (5.10) представляется в виде

.

Первое слагаемое в уравнении зависит только от . Второе слагаемое зависит только от . Это означает, что каждое из этих слагаемых есть величина постоянная, и сумма этих постоянных равна нулю

.

Получили вместо уравнения в частных производных два обыкновенных дифференциальных уравнения для и для .

Уравнение для функции - это уравнение Лежандра

.

Оно имеет два линейно независимых решения. Одно из решений является ограниченным при всех значениях аргумента , если выполняется условие

,

при этом функция Лежандра становится полиномом Лежандра

.

Для этого полинома имеет место определение

.

Первые три члена этого ряда имеют вид

Для частного решения имеем уравнение

.

Решение можно найти в виде , где , удовлетворяет уравнению,

,

имеющему два корня . Следовательно, получаем представление

.

Так как на бесконечности должно выполняться условие , то необходимо взять . В результате получаем частное решение

.

Общее решение для потенциала , описывающего возмущение поля за счет проводящего шара, будем строить в виде суперпозиции частных решений

.

Потенциал невозмущенного поля можно представить в виде

,

Решение задачи должно удовлетворять граничному условию на поверхности проводящего шара . Это условие дает уравнение для нахождения коэффициентов

.

Полиномы Лежандра взаимно ортогональны, поэтому получаем

при .

Значит,

.

Таким образом, проводящая заземленная сфера (потенциал поверхности равен нулю), помещенная в однородное внешнее электрическое поле , приводит к возмущению поля в области такому же, какое создает помещенный в центр сферы фиктивный точечный диполь с дипольным моментом .

Использованный прием разложения решения по полиномам Лежандра часто применяется в задачах, решаемых в сферической системе координат. Удобство такого разложения обусловлено ортогональностью и полнотой системы полиномов Лежандра.

Метод конформного отображения. Если электростатическое поле зависит только от двух декартовых координат , то возможно использование аппарата теории функций комплексного переменного. Электростатическое поле в вакууме вне источников удовлетворяет двум однородным уравнениям

.

Первое уравнение позволяет ввести скалярный потенциал

,

а второе уравнение указывает на существование векторного потенциала

.

Введем систему координат так, что . Тогда можно выбрать однокомпонентным вектором и компоненты поля имеют представление

.

Такие соотношения между функциями и совпадают с условиями Коши – Римана, выражающими тот факт, что комплексная функция

,

является аналитической функцией комплексного аргумента . называется комплексным потенциалом. Факт аналитичности означает, что функция в каждой точке имеет производную, не зависящую от направления, в котором она берется. В частности, дифференцируя вдоль направления оси , получим

.

Силовые линии поля описываются уравнением

.

Это можно представить в форме .

Значит и силовые линии поля это линии . Эквипотенциальные поверхности - это линии . Функциональное соотношение осуществляет конформное отображение комплексного переменного на плоскость комплексного переменного . Пусть требуется найти электростатическое поле проводящего тела. Сечение этого проводника в плоскости обозначим и пусть известно значение потенциала на этом контуре . Найдем функцию , осуществляющую отображение контура с плоскости на линию параллельную оси ординат в плоскости . Такая функция дает значение потенциала . Способ отыскания конформного отображения в ряде электростатических задач облегает построение решения.

В качестве примера нахождения комплексного потенциала рассмотрим задачу, решение которой известно. Поле заряженной бесконечно тонкой прямой нити, совпадающей с осью , в цилиндрической системе координат имеет вид

,

где - заряд единицы длины нити. Найдем представление для комплексного потенциала . Так как

,

то . Комплексный потенциал имеет вид

, .

5.6. Электрический диполь и квадруполь. К понятию электрического диполя можно придти различными способами.

Способ №1. Рассмотрим систему из двух разнесенных на фиксированное расстояние точечных электрических зарядов, равных по значению и противоположных по знаку. Такая система называется диполем, если расстояние между зарядами мало по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Согласно принципу линейной суперпозиции, потенциал в точке (Рис 5.2) можно представить в виде

,

где - радиус векторы точек расположения наблюдателя и зарядов. Для упрощения расчетов начало координат расположено в средней точке между зарядами. Эта формула упрощается в наиболее интересном для приложений случае: , когда возможно использовать приближения

.

Формула (5.7) упрощается, так как имеет место представление

.

, (5.8)

где - электрический момент диполя. Электрическое поле имеет вид

,

где .

Абсолютная величина поля дается соотношением ,

. В диполе происходит частичное «экранирование» зарядов противоположного знака. Напомним, что для точечного заряда имеет место более медленное убывание поля: .

Если диполь помещен во внешне электрическое поле , то его потенциальная энергия это суперпозиция потенциальных энергий зарядов

,

где - потенциал поля . Если меняется мало на длине , то и имеем

.

Если диполь жесткий ( ), то момент силы , или .

Способ №2 введения понятия электрический диполь. Найдем потенциал системы зарядов вдали от этой системы.

,

где - радиус – вектор заряда . Разложим это выражение в ряд по степеням : , где .

Функция раскладывается в ряд по полиномам Лежандра ( - угол между векторами , см. Рис. 5.3). Здесь используется метод разделения переменных:

,

где

. .

Тогда

• это потенциал, создаваемый суммарным зарядом системы, помещенный в начало координат (начало координат выбирается внутри системы). Если система в целом электронейтральна, то . Для получается представление

, .

Получили обобщение понятия потенциала диполя и дипольного момента на случай системы многих зарядов. - это потенциал, помещенного в начало координат фиктивного диполя с дипольным моментом . Имеет место разложение в ряд

.

Левая часть этой формулы не зависит от выбора начала отсчета, а отдельные члены правой части – зависят. Дипольный момент зависит от выбора начала координат. Смещение начала координат на вектор изменяет дипольный момент на . Эта зависимость пропадает только в электронейтральной среде. Если система состоит из двух равных зарядов, противоположных по знаку, то соответствует потенциалу диполя (5.8). Член - представляет собой потенциал фиктивного квадруполя с соответствующим квадрупольным моментом. Выражение для него и для последующих членов мультипольного разложения потенциала здесь не приводим.

5.7. Сведение объемных сил в электростатике к поверхностным натяжениям. Тензор натяжения. Найдем выражение для силы действующей со стороны электростатического поля на заряды в объеме

вещества. Пусть распределение зарядов в этом объеме характеризуется плотностью . Сторонние заряды создают электростатическое поле и статическое распределение свободных зарядов. На заряды в элементе объема действует сила , которую с учетом уравнения

можно записать в виде

.

Тогда полная сила, действующая на заряды в объеме , запишется следующим образом

, (5.11)

где - вектор плотности объемной силы. Представим выражение для силы через поверхностный интеграл. Такое представление имеет то преимущество, что вместо трехкратного интеграла (5.11) можно получить двукратный интеграл. Вычисление последнего интеграла требует знания подынтегральной функции не в объеме , а только на окружающей его поверхности . С этой целью к выражению для добавим нулевое слагаемое (в электростатике ). Тогда компоненты вектора можно будет записать через дивергенцию некоторых векторов. Это даст возможность использовать формулу Гаусса – Остроградского и перейти от объемного интеграла к интегралу по поверхности. Запишем . Получим представление

,

.

В аналогичном виде можно представить и другие компоненты вектора . С помощью компонент образуется тензор .

Составляющие вектора преобразуем, используя формулу Гаусса – Остроградского

.

Эти соотношения можно представить в компактной форме, введя тензор поверхностного натяжения Максвелла :

, , где