19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 19.1 . Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

▼Пусть функция ƒ(х) и φ(х) непрерывны на некотором множестве X и x₀ — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x)=ƒ(х)•φ(х). Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак,   что и доказывает непрерывность функции ƒ(х)•φ(х) в точке х₀. ▲

Теорема 19.2 . Пусть функции u=φ(х) непрерывна в точке х₀, а функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u₀=φ(х_о). Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая из непрерывных, функций, непрерывна в точке х₀.

▼В силу непрерывности функции u=φ(х)  

т. е.при х→х₀ имеем u→u₀. Поэтому вследствие непрерывности функции у=ƒ(u) имеем:

Это и доказывает, что сложная функция у=ƒ(φ(х)) непрерывна в точке х₀. ▲

Теорема 19.3 . Если функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция tgx=sinx/cosx . в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosх=0, т. е. кроме значений х=π/2+πn, nєZ.

Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

<< Пример 19.4

Найти   

 Решение: Функция    непрерывна  в точке х=p/4, поэтому   

19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х₁, а наименьшее m — в точке х₂. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М.

Следствие 19.1 . Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри

этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 19.2. Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения ƒ(х)=0.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.