1.5.4 Разность множеств

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств^¹ А и В обозначается А\В. Формально определение разности множеств А и В можно записать в виде:

. 1.16

Примеры.

Пусть имеем А={4,5,8,12,16,21}; B={1,2,5,7,12,17,21,30}. Тогда А\В={4,8,16}, а B\A={1,2,7,17,30}.
A={a,b,c,d}; B={a,d,e,f,g}. В этом случае получаем: А\В={b,c} и B\A={e,f,g}.

Если как и ранее множества А и В изобразить в виде точек кругов А и В соответственно, то разность множеств будет представляться так, как это показано на рис. 1.3, где а) соответствует разности А\В, b)- разности B\A.

1.5.5 Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, состоящее из объединения множеств разностей А\В и В\А. Симметрическая разность множеств А и В обозначается символом , т.е А  В. Таким образом, по определению

. 1.17

Нетрудно убедиться, что . 1.18

Примеры.

Имеем: А={4,5,8,12,16,21}; B={1,2,5,7,12,17,21,30}. Тогда

А  В={1,2,4,7,8,16, 17,30}.

A={a,b,c,d}; B={a,d,e,f,g}. В этом случае получаем А  В={b,c,e,f,g}.

Графически симметричная разность множеств А и В может быть представлена как показано на рис. 1.4. Закрашенные области соответствуют симметрической разности множеств А и В.

1.5.6 Универсальное множество

Если в некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множеств I, то это самое большое множество называют универсальным (или полным) множеством.

В различных конкретных случаях роль универсального множества играют различные множества. Так, при рассмотрении студентов института универсальным (полным) множеством является вся совокупность студентов. Отдельные группы (факультеты) можно рассматривать как подмножества. В некоторых случаях универсальным множеством может являться и отдельная группа, в которой имеют место свои подмножества (отличники; студенты, проживающие в общежитии; юноши; девушки и т.п.).

Вполне очевидно, что для универсального множества справедливы следующие соотношения:

и 1.19

Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Различные области внутри прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение множества в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называют диаграммой Эйлера-Венна.