§3.Простейшие модели финансовых пирамид

3.1.Различные схемы сбора денег финансовыми пирамидами Рассмотрим различные схемы сбора денег финансовыми пирамидами.

Пример 1. Будем предполагать, что каждый месяц финансовая организация собирает одинаковое количество денег, из которых в конце каждого месяца выплачиваются проценты.

Вопрос: за сколько месяцев финансовая компания соберет максимальное количество денег и сколько она может работать, если предположить, что проценты составляют 25% в месяц.

Решение.

Пусть:

В 1м месяце собрано m рублей;

Во 2м месяце m + m – ¹/₄  m рублей;

В 3м месяце 3m – ¹/₄  m – ²/₄  m рублей;

В 4м месяце 4m – (¹/₄ + ²/₄ + ³/₄)m рублей;

Т.о. в t-том месяце получим сумму:

S(t) = mt – (¹/₄ + ²/₄ + ³/₄ + … + ^{(t – 1)}/₄)m = mt – ¹/₄ (1 + 2 + 3 + … + + (t – 1))  m ;

Т. к. (1 + 2 + 3 + … + (t – 1)) = t*(t-1)/8 , то

S(t) = mt – t*(t-1)/8  m = (1 + ¹/₈)mt – ¹/₈ mt² .

Найдем максимум этой функции:

S^’(t) = (1 + ¹/₈)m – t/4m ;

S^’(t) = 0 при t/4 = 1 + ¹/₈ ; t = 4 + ¹/₂ ;

Т.к. S^’’(t) = – m/4< 0, то критическая точка является точкой максимума .

Итак, максимум денег соберется между 4 и 5 месяцем.

Причем, S(4) = S(5) = ⁵/₂ m.

Задача 1.

Предположим, что каждый месяц финансовая пирамида «Доверие» собирает 10 млн. рублей. В конце месяца выплачивает 25% от вклада. По условиям вклада, он не может быть изъят в течении 6 месяцев. Рассчитать динамику сбора денег и определить максимальную сумму, собранную пирамидой. Сколько месяцев финансовая пирамида может работать безубыточно?

Решение:

1й месяц 10 млн. рублей;

2й месяц 210 – 2,5 = 17,5;

3й месяц 310 – 2,5 – 5 = 22,5;

4й месяц 410 – ¹/₄ (1 + 2 + 3)*10 = 40 – 15 = 25;

5й месяц 510 – ¹/₄ (1 + 2 + 3 +4)*10 = 50 – 25 = 25;

6й месяц 610 – ¹/₄ (1 + 2 + 3 +4 +5)*10 = 22,5;

7й месяц 710 – ¹/₄ (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6)*10 = 17,5;

8й месяц 810 – ¹/₄ (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7)*10 = 10;

9й месяц 910 – ¹/₄ (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8)*10 = 0.

При 25% в месяц максимальная сумма собирается за 4 месяца, в 9 месяце прибыли нет, вся собранная сумма уходит на выплату дивидендов, финансовая пирамида терпит банкротство.

3.2. Выведем формулу, связывающую собранную сумму, оптимальный срок работы и другие параметры с произвольной месячной процентной ставкой.

Пусть :

m – фиксированная сумма вклада,

 – обещаемая процентная ставка.

Тогда, собираемая сумма будет равна:

В 1м: m

Во 2м: 2m – m

В 3м: 3m – m – 2m

В 4м: 4m – (1 + 2 + 3)m

…

В tм: S(t) = tm –   t*(t-1)m/2;

Или

S(t) = (1 + ^/₂)tm – ^/₂ mt² .

Найдем максимум:

S^’(t) = (1 + ^/₂)m – m*t ;

S^’’(t) = – m < 0 ;

t_max = ¹/_ + ¹/₂ ; S_max = ¹/₂ ( ¹/_ + ¹/₂)² m .

Рассмотрим вопросы:

1). Может ли финансовая пирамида при такой схеме привлечения средств работать бесконечно долго?

2). При каком проценте  финансовая пирамида накапливает максимальную сумму за 1 год? При каком проценте  финансовая пирамида сможет проработать безубыточно 1 год?

3). Нарисуем график оптимального срока работы финансовой пирамиды в зависимости от процентной ставки.

Решение:

1. Существует ли  > 0, такое что t: S(t)  0 ? Ответ, очевидно, нет, т.к. функция S(t) является параболой, причем ветви параболы направлены вниз.

S(t)

|

|

------------------- |

|

|

| i

0 i_max t_{банкротство}

2. При каком проценте  финансовая пирамида накапливает максимальную сумму за 1 год

t_max = ¹/_ +1/2=12

ß= 1/11.5=0.085~8.5%.

Т.о., максимальную сумму денег финансовая пирамида собирает за год при ставке 8.5% в месяц.

Рассмотрим теперь, при какой процентной ставке финансовая пирамида может проработать безубыточно 1 год:

t_{банкротство} = 1 + ²/_ = 12 месяцев;

 = ²/₁₁  0,18.

Значит, при 18% в месяц, финансовая пирамида может проработать безубыточно 1 год.

Определим, в какой срок, тогда будет собрана максимальная сумма:

i_max = ¹/_0,18 + ¹/₂ 

максимальная сумма будет собрана за 5 – 6 месяцев.

Вывод : время банкротства не зависит от суммы ежемесячных поступлений.

3. Нарисуем график оптимального срока работы финансовой пирамиды в зависимости от процентной ставки

Вывод: Чем меньше процентная ставка , тем дольше может работать финансовая пирамида.