- •3.1 Появление определителей в теории слау
- •3.2 Отображения
- •3.3 Перестановки n-ой степени
- •3.4 Четные и нечетные перестановки
- •3.5 Суммирование по множеству
- •3.6 Определитель n-го порядка
- •3.7 Свойства определителя
- •3.8 Теорема Лапласа
- •3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Определитель произведения матриц
- •Формула обратной матрицы
- •Теорема Крамера
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
3.3 Перестановки n-ой степени
Пусть – конечное множество, состоящее из элементов. Поскольку в дальнейшем природа элементов этого множества для нас значения не имеет, будем считать, что . Через обозначим множество всех взаимнооднозначных отображений множества в себя. Элементы этого множества называются перестановками -ой степени.
Пусть . В развернутой форме отображение записывается как
,
или
с указанием всех образов , представляющих собой переставленные символы , откуда и идёт название перестановка. В связи с этим перестановку обычно изображают таблицей
, (3.7)
где . В верхнем ряду таблицы (3.7) числа не обязательно должны стоять в порядке возрастания слева - направо. Важно, чтобы под символами верхнего ряда стояли их образы при отображении .
Например,
. (3.8)
В связи с этим перестановку из будем иногда записывать в виде
, (3.9)
где – произвольным образом переставленные символы , а запись перестановки в виде (3.7) будем называть канонической.
Перестановка
является обратной к перестановке вида (3.9) и обозначается .
Например, если имеет вид (3.8),
.
Операция умножения перестановок -ой степени вводится как композиция отображений,
.
Например, если
,
то
.
Множество замкнуто относительно операции композиции отображений, т.е. произведение перестановок -ой степени является перестановкой -ой степени. Действительно, композиция обратимых отображений и является обратимым отображением и , т.к.
и аналогично .
Но тогда по критерию обратимости отображения (см.п.3.2) –биективное отображение, т.е. перестановка -ой степени.
Множество содержит тождественное отображение, которое обозначается буквой , ,
и называется единичной перестановкой. Очевидно, что для всех
из , т.е. играет роль единицы для операции умножения перестановок. Учитывая, что , причем
,
получаем, что множество перестановок -ой степени по операции умножения перестановок образует группу.
Покажем, что , т.е. число различных перестановок -ой степени равно . При построении перестановки вида (3.7) элемент вида можно выбрать способами, тогда для выбора элемента остаётся возможность, а пара { } может быть выбрана способами. Для выбора элемента остаётся возможности, а тройка { } может быть выбрана способами. Продолжая этот процесс, получаем, что набор { } из различных элементов множества может быть выбран
способами. После этого последний элемент выбирается автоматически как единственный оставшийся элемент множества . Таким образом .