33. Наивероятнейшее число наступления события

Число наступлений события A, которому отвечает наибольшая вероятность, наз. наивероятнейшим числом наступления события A.

Пусть - наивероятнейшее число наступлений события A, тогда , . Отсюда или , следовательно, . С другой стороны, , тогда , т.е. .

Итак, определяется двойным неравенством . Отметим, что разность , следовательно, всегда существует целое число , удовлетворяющее двойному неравенству. При этом если - целое число, то наивероятнейших чисел будет два.

34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей

При больших n и m на практике пользоваться формулой Бернулли затруднительно. В этом случае пользуются локальной теоремой Лапласа

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом из независимых испытаний отлична от 0 или 1, то - вероятность того, что событие A наступит раз, при удовлетворяет предельному равенству , где, .

При сделанных предположениях относительно p, если n достаточно большое, имеет место приближенное равенство

.

Формула эффективнее, когда p близко к 0.5 . Если p - мало, пользуются асимптотической формулой Пуассона, которая вытекает из следующей теоремы Пуассона.

Теорема Пуасона. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а , причем параметр - величина постоянная, то

.

35. Биномиальный закон распределения

Случайная величина X, которая принимает значение m с вероятностью , наз. распределенной по биномиальному закону.

Если проводятся независимые испытания, в каждом из которых событие A может наступить с одной и той же вероятностью p, то число наступлений события A в n испытаниях и есть случайная величина X.

Приведем таблицу распределения биномиальной СВ

	0	1	2	…
				…

Проверим корректность определения случайной величины X, т.е. выполнения требования .

Здесь - вероятность того, что событие A не наступит ни разу; - наступит один раз; - два раза и т.д. Сумма этих вероятностей дает вероятность, что в n испытаниях событие A не наступит ни разу, или 1 раз,…, или n раз. Но это вероятность достоверного события и поэтому равна единице.

Найдем математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины X. Пусть - это число наступлений события A в ом испытании. Тогда распределение случайной величины задается таблицей

Значения	0	1
Вероятности p

Очевидно, что , - независимые СВ и их сумма - это СВ X. Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ :

, ,

.

Тогда ,

.