18 Производная и дифференциал высших порядков

Понятие производной n-ого порядка: если y=f(x) дифференцируема, то f ’(x) – так же является функцией аргумента х, следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о её производной. Назовём производную второго порядка или второй производной производную от производной функции f ’’(x)=(f ’(x))’.

Производная n-ого порядка от х:

29 Схема исследования функции и исследование её графика

1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты

2. точки пересечения с осями.

3. чётность/нечётность

4. периодичность

5. промежутки монотонности и экстремумы

6. Выпуклости, точки перегиба

7. наклонные асимптоты

20 Дифференциал функции

Если Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), то её приращение может быть представлено в виде Z=Ax +By+(x;y)x+(x;y)y.

Определение: (dz) дифференциалом дифференцируемой функции Z в точке М называется линейная относительно в x и у часть полного приращения функции в точке М, т.е. dZ=Ax+By.

В правой части Z=Ax +By+(x;y)x+(x;y)y третье и четвертое слагаемые являются бесконечно малыми функциями, по этому можно записать приближённое равенство: ZdZ, что используется при приближённом вычислении.

Дифференциал второго порядка: