Cвойства обратных матриц

            Укажем следующие свойства обратных матриц:

1)      (A^-1)^-1 = A;

 

                                                             2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

                                                            

                                                             3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА =  = ;            A³ = = .

 

            Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

 

            Пример.    Вычислить определитель .

 

 = -1

 

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

 

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

 

5

Ранг матрицы

Определение. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r,

r<= min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.

            Очень важным свойством элементарных преобразований  матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

            1) умножение строки на число, отличное от нуля;

            2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

            3) перестановка строк;

            4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

            5) транспонирование;

            Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

. РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ЧИСЛУ ЕЕ СТРОК

7

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.

Обозначается x = (x₁, x₂, ..., x_n);

числа x₁, x₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x = (x₁, x₂, ..., x_n), y = (y₁, y₂, ..., y_n) и любого числа α справедливо:

x + y = (x₁+ y₁, x₂ +y₂, ..., x_n+ y_n); αx = (αx₁, αx₂, ..., αx_n).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор −x = (−x₁, −x₂, ..., −x_n) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

Для любых векторов x, y и z из Rn и любых чисел α и β справедливо:

1. x + y = x + y, сложение коммутативно;

2. x + (y + z) = (x + y)+ z, сложение ассоциативно;

3. x + θ = x;

4. x + (−x) = θ;

5. α(x + y) = αx + αy, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

6. α(βx) = (αβ)x, умножение на число ассоциативно;

7. (α + β)x = αx + βx , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 1·x = x.

Пространство Rn − n-мерное векторное пространство, dimRn = n.

Если в пространстве Rn определен естественный базис e₁, e₂, ... e_n ,

e₁= (1, 0, 0,..., 0, 0), e₂= (0, 1, 0,..., 0, 0), ..., e_n-1= (0, 0, 0,..., 1, 0), e_n= (0, 0, 0,..., 0, 1),

то компоненты вектора x = (x₁, x₂, ..., x_n) из Rn являются координатами вектора x в естественном базисе e₁, e₂, ... e_n:

x = (x₁, x₂, ..., x_n) = x₁e₁+ x₂e₂+ ...+ x_ne_n.

Всякое конечномерное n-мерное линейное пространство изоморфно пространству арифметических векторов Rn.

Пример

L − множество 6-мерных арифметических векторов, у которых чётные коомпоненты равны нулю, {x =(x₁, 0, x₂, 0, x₅, 0 )} − трёхмерное линейное пространство, изоморфное пространству арифметических векторов R₃.

Действительно.

Как видно из приведенных выше соотношений, множество L − трёхмерное линейное пространство (три вектора e₁, e₂и e₃ образуют базис), изоморфное пространству трёхмерных арифметических векторов R₃.

7-8Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Система называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел, при котором выполняется соотношение: k1A1+k2A2+…knAn *≠0.Система А1 – An линейно зависима, если хотя бы один из векторов разлагается по остальным векторам этой системы.Система A1 – An линейно зависима, если n>m.

Система называется линейно независимой, если соотношение равно нулю тогда и только тогда, когда k-k1 – нулевой набор чисел.

Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейно независима.

Диагональная система линейно независима

Если вектор An не разлагается по системе векторов A1 – An-1, то вся система A1 – An линейно независима.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. # Любая система векторов является либо зависимой, либо независимой; # Если часть системы A1 – An линейно зависима, то и вся система линейно зависима. # Если часть системы A1 – An линейно независима, то и вся система линейно независима. # Если система A1 – An линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным векторам. # Если система векторов A1 – An линейно зависима, и её часть A1 – An-1 ¬¬линейно независима, то вектор An разлагается по системе A1 – An.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Условие линейной зависимости векторов.

Определение. Система векторов из Rⁿ линейно называется линейно независимой, если из следует равенство нулю всех коэффициентов .

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Теорема. Система векторов из Rⁿ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы.

8

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.

В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :

1. Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.

2. Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.

3. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

10