11.2 Способ вспомогательных концентрических сфер
Выдается на четырнадцатой неделе после проведения практического занятия 14 [1, 2, 11].
Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:
а) пересечение поверхностей;
б) построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер, концентрических сфер и качающихся плоскостей.
При построении линии пересечения двух поверхностей вращения часто целесообразно применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей концентрические сферы, т.е. построенные из одного центра.
Это обусловлено тем, что всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений (рисунок 70). Если при этом оси двух пересекающихся поверхностей вращения пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций, то всякая сфера с центром в точке пересечения осей пересечет каждую из поверхностей по окружностям, которые проецируются на одну из плоскостей проекций в виде отрезков прямых.
Рисунок 70 – Пересечение сферы с цилиндром и конусом
Задача 1. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения (рисунок 71).
Оси заданных поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскости проекций V, следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются. Точки 12 и 22 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих двух цилиндров – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения опорных точек 3 из точки О описана сферическая поверхность Сф.I наименьшего диаметра. Она касается поверхности вертикального стоящего цилиндра, т.е. пересекает его по одной горизонтальной прямой ав. А второй (горизонтальный) цилиндр Сф.I пересекает по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ вертикальные прямые сd. Пересечение прямых ав и сd определяют положение опорных точек 3. Это крайние левая и правая точки. Аналогично при помощи вспомогательной Сф.II построена фронтальная проекция точек 4 и 5, принадлежащих линии пересечения цилиндров. Размер сферы Сф.II и полученные точки являются случайными, т.е. строятся для более точного определения положения линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены по линиям связи, и они все лежат на окружности, т.к. цилиндр является горизонтально проецирующим образом.
Рисунок 71 ‑ Пересечение двух цилиндров вращения
Задача 2. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 73).
При таком положении поверхностей точки 12 и 22 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения промежуточных точек из точки О описана сферическая поверхность Сф.I наименьшего диаметра. Она только касается поверхности конуса в точках а и b и, следовательно, пересекает ее по окружности, фронтальная проекция которой ‑ прямая аb. Поверхность цилиндра Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ прямая сd. Пересечение этих прямых ‑ точки 32 ‑ есть фронтальная проекция крайних левой и правой точек искомой линии пересечения (рисунок 72). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция 42 еще двух точек, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 73).
Рисунок 72 ‑ Построение касательной к конусу сферы Сф.I
Рисунок 73 ‑ Пересечения конуса и цилиндра вращения
Задача 3. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 75). От предыдущей эта задача отличается размерами цилиндра.
При увеличении диаметра цилиндра вид линии пересечения полностью меняется.
При таком положении поверхностей точки 12 и 32 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений.
Решение начинаем с построения Сф.I, касательной к цилиндру. Она касается поверхности цилиндра в точках с и d и, следовательно, пересекает ее по окружности, фронтальная проекция которой ‑ прямая сd. Поверхность конуса Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальные проекции которых ‑ прямые аb. В пересечении этих прямых находятся точки 22 и 42. Это фронтальные проекции опорных точек искомой линии пересечения (рисунок 69). Точка 22 – это нижняя точка для верхней линии пересечения, а 42 – верхняя для нижней линии пересечения (рисунок 74). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция точек 52 (еще двух точек, принадлежащих линии пересечения). Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 75).
Рисунок 74 ‑ Построение касательной Сф.I для нахождения точек 2 и 4
Рисунок 75 ‑ Пересечение конуса вращения и цилиндра вращения
Подготовка к контрольной работе № 2.
Контрольная работа № 2 проводится на пятнадцатой неделе. Для подготовки к контрольной работе следует повторить задачи из тем 5, 6, 7, 8.