29) Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме и ее практическое применение.
Поток вектора напряженности электростатического поля
Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме
Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.
СГС |
СИ |
|
|
где
—
поток
вектора напряжённости электрического
поля через замкнутую поверхность S.Q — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность S.
ε0 — электрическая постоянная.
Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.
Замечание: поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности.
В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:
СГС |
СИ |
|
|
Здесь ρ —
объёмная плотность заряда (в случае
присутствия среды — суммарная
плотность свободных и связанных зарядов),
а 
— оператор
набла.
Теорема Гаусса может быть доказана как теорема в электростатике исходя из закона Кулона (см. ниже). Формула однако также верна в электродинамике, хотя в ней она чаще всего не выступает в качестве доказываемой теоремы, а выступает в качестве постулируемого уравнения (в этом смысле и контексте ее логичнее называть законом Гаусса[2].
30) Работа электрического поля при перемещении электрического заряда. Потенциальный характер электрического поля.
-
Работа электростатического поля по перемещению заряда.
а) Однородное электростатическое поле:
в
каждой точке поля. 
. Следовательно:
W=qEr
Т.к. если вектор перемещения перпендикулярен вектору силы (напряженности поля), работа поля равна нулю, то работа электростатического поля по перемещению заряда по любой траектории определяется разностью координат этих точек.
Если обозначить координаты заряда в начальной и последующей точках r1 и r2, то:
Т.е. работа равна разности двух эквивалентных величин, зависящих от характера взаимодействия и взаимного расположения. Но мы знаем, что работа - мера изменения энергии. Можно предположить: W=qEr - потенциальная энергия заряда в данной точке электростатического поля. Зависит от выбора начальной точки отсчета потенциальной энергии.
Тогда:
-
наиболее общий способ расчета работы
в электростатическом полеТ. е. работа при перемещении заряда между двумя точками в электростатическом поле
- не зависит от формы траектории, а зависит от положения этих точек.
- равна убыли потенциальной энергии заряда в этом поле;
- работа по замкнутой траектории равна нулю.
Электростатическое поле, как и гравитационное, потенциальное:
А = - mg(h2— h1) = -W
Электростатическое поле - это потенциальное поле. Понятие о потенциальных силовых полях было введено в курсе механики. Поле называется потенциальным, если работа сил этого поля при перемещении из одной точки в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями.
Потенциальным является любое центральное поле, в котором сила зависит только от расстояния до силового центра и направлена по радиусу. Доказательство этого утверждения рассматривалось в курсе механики. Электростатическое поле, создаваемое уединенным точечным зарядом, описывается законом Кулона. Это поле сферически-симметрично и представляет собой частный случай центрального поля. Отсюда следует потенциальный характер электростатического поля точечного заряда.
В соответствии с принципом суперпозиции напряженность электростатического поля, создаваемого любым, сколь угодно сложным распределением неподвижных зарядов, представляет собой векторную сумму напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Сила, действующая на перемещаемый пробный заряд, определяется полной напряженностью поля. Поэтому работа при перемещении пробного заряда равна сумме работ сил, действующих со стороны отдельных точечных зарядов. Работа каждой такой силы не зависит от формы траектории. Поэтому и суммарная работа - работа результирующей силы - также не зависит от траектории, что и доказывает потенциальный характер любого электростатического поля.