3. Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.

В конкретных математических областях бывает полезно ввести в рассмотрение столь обширное множество I, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество I принято называть универсальным множеством или универсумом. Если выбрано некоторое универсальное множество I, то возникает новая теоретико-множественная операция — дополнение. Для всякого множества М (при этом подразумевается, что М — подмножество универсального множества I его дополнение, обозначаемое через М, — это множество всех элементов универсума, которые не принадлежат множеству М:

М = {х | х   I и x M}

Таким образом, дополнение — это частный случай разности:

M = I \ M, все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно фиксированного множества, содержащего все множества, которые в данной связи рассматриваются.

4. Объединение, пересечение и вычитание множеств.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = {х|х М и х N}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = {х | х М или х N}.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | х М и х N}.

Свойства операций над множествами. 1. A U B = B U A - коммутативность . A n B = B n A  2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C - ассоциативность.  3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) - дистрибутивность.  4. Поглощение A U A = A, A n A = A.  5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A 6. Двойное дополнение A = A 7. A U A = U A n A = 0 8. Законы двойственности или закон Де - Моргана (AUB) = A n B (AnB) = A U B 

6. Кортеж. Декартово умножение множеств.

Пусть   и   - множества. Выражение вида  , где   и  , называется упорядоченной парой. Равенство вида   означает, что   и  . В общем случае, можно рассматриватьупорядоченную n-ку   из элементов  . Упорядоченные n-ки иначе называютнаборы или кортежи. Определение 4. Декартовым (прямым) произведением множеств   называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Определение 5. Степенью декартового произведения   называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества   одинаковы, то используют обозначение

6. Бинарные отношения между элементами множеств. Граф и график отношения. Способы задания отношения.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отноше­ния, которое часто появляется как в ма­тематике, так и в информатике. Отношения между элементами не­скольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных. Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения   Отношения в

дальнейшем будем обозначать   (читается   отношение из A в B) Если   ,    и  , то говорят,  что a находится в отношении с b. Используется также запись   . Есть два способа задания отношения – перечиление всех пар и задание характеристического свойства отношения.

граф-рисунок, график с осью х и у

6. Отношении, обратное и противоположное к данному отношению.

Обратное отношение (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R⁻¹. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R⁻¹)⁻¹ = R. Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.

9.Основные свойства отношений на множестве.

Пусть  , т.е.   - бинарное отношение на множестве A.

1)  рефлексивное отношение, если   для всякого элемента из множества А пара (а,а) принадлежит отношению  , что означает что всякий элемент из множества А находится в отношении сам с собой.2)  симметричное отношение, если для всяких элементов из множества А, если одна пара  принадлежит отношению , то  и другая пара  принадлежит отношению ,  что означает что если элемент a находится в отношении  c b, то и  элемент b находится в отношении  c  a.3)  антисимметричное отношение, если  для всяких элементов из множества А, если пара принадлежит отношению  и пара  принадлежит отношению , то ,  что означает что отношение   не может содержать пару  одновременно с парой , если элемент a отличен от элемента b.4)  транзитивное отношение, если для всяких элементов из множества А, если пара  принадлежит отношению  и пара  принадлежит отношению , то  и пара принадлежит отношению , что означает что если элемент a находится в отношении  c  b и элемент b находится в отношении  c  с, то и  элемент a находится в отношении  c  с.5)  полное или линейное отношение, если для всяких элементов из множества А, если , то пара  принадлежит отношению  или пара  принадлежит отношению ,  что означает что для любых двух различных элементов a находится в отношении  c  b или элемент b находится в отношении  c   a .