3. Динамика материальной точки

3.1 Законы Ньютона. Инерция, масса и сила.

 Теперь приступим к изучению следующего раздела механики -  динамики,  которая изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.  Классическая динамика базируется на 3 основных законах, называемых законами Ньютона. Приведем формулировки этих законов, данные самим Ньютоном, в переводе академика А.Н. Крылова.

Закон 1. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.Закон 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению прямой, по которой эта сила действует.Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг с другом равны и направлены в противоположные стороны. Первый закон называют законом инерции. Изолированная материальная точка, не взаимодействующая с другими материальными объектами, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Это свойство тел сохранять свое первоначальное состояние называют инерцией. Мы из жизненного опыта знакомы со свойством инерции покоя тела, но в реальных условиях трудно наблюдать  проявление  свойства инерции равномерного движения тела, т.к. невозможно изолировать тело от взаимодействия с другими телами. Для этого необходимо абстрактно представить такие условия, когда отсутствуют внешние воздействия на движущееся тело. Только такая система отсчета, в которой закон инерции соблюдается, называетсяинерциальной системой отсчета. Инерциальная система отсчета связана с эвклидовым пространством, т.к. только в однородном и изотропном пространстве и в силу однородности времени переход материальной точки из одной точки    в момент времени    в   точку      в момент времени   не изменяет характеристики движения тела, в частности, и его скорость.Очевидно, что понятие инерциальной системы является идеализацией, абстрактной моделью реальности. Возможность замены той или иной реальной системы этой моделью - инерциальной системой - определяется величиной взаимодействий и степенью точности измерений.Второй закон является основой классической механики. Поскольку количество движения, определенное Ньютоном, как произведение массы тела на его скорость, т.е.  , то математическая формулировка закона выражается формулой:

.                                                                (2.1)

В области нерелятивистских скоростей масса тела является величиной постоянной, поэтому имеем

,                                                    (2.2)

или используя определение ускорения, имеем

.                                                        (2.3)

В средней школе формулировку второго закона Ньютона дают в соответствии с формулой (2.3).  Ускорение движения материальной точки совпадает по направлению с приложенной к ней силой, по модулю пропорционально модулю силы и обратно пропорционально массе материальной точки. Если все величины взять в международной системе единиц СИ, то второй закон Ньютона выразится векторным уравнением:

                                                                 (2.4)

На основе этой формулы определяют единицу измерения силы в системе единиц СИ – ньютон, равный  .На основе выражения (2.4) заключаем, что сила является причиной ускорения движения тела. При отсутствии действующей силы   ускорение равно нулю   и тело движется равномерно с постоянной скоростью   или покоится  . Таким образом, в качестве математического следствия из второго закона следует  закон инерции, сформулированный первым законом Ньютона.Из (2.3) следует, что с увеличением массы при неизменной силе ускорение уменьшается, а, следовательно, и изменение скорости движения уменьшается, т.е. инертность тела увеличивается. Отсюда выводится заключение, что масса является мерой инертности тела.Изучение природы сил не входит в задачу классической механики, она определяется в других разделах физики. Классическая механика исходит из механической концепции взаимодействий тел, действующих между телами. Простым примероммеханической силы является взаимодействие двух тел при непосредственном соприкосновении их, происходящих при их столкновении, т.е. при ударе друг о друге. В природе наблюдается и другие примеры взаимодействия тел, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, примером служит взаимодействие Земли и Солнца. В этом случае вводится понятие силового поля, которое производит взаимодействие тел, находящихся на расстоянии, при чем это взаимодействие распространяющихся мгновенно (представление дальнодействия Ньютона). Силовое поле задается в каждой точке пространства силой, которая может зависеть от времени  . Это силовое поле не материальный объект, а вспомогательное математическое понятие. В механике считают, что взаимодействуют материальные точки через пустоту без помощи никакого-либо переносчика взаимодействия. Такое механическое рассмотрение распространяется на силы гравитационных взаимодействий и сил электромагнитных взаимодействий. К механическим силам  так же относят и силы упругости, трения и сопротивления среды, действующие на материальные тела.

При таком общем рассмотрении второй закон Ньютона записывают в виде

,                                              (2.5)

дифференциального уравнения второго порядка, которое при задании определенных начальных условий описывает конкретное механическое явление. Поэтому этот закон именуют как основной закон механики.Третий закон Ньютона, или закон равенства действия и противодействия, удобно формулировать следующим образом: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, расположены по прямой, соединяющей эти точки, равны по модулю и противоположны по  направлению.  Эти силы являются центральными. Для центральной силы линия силы всегда проходит через центр – точку, в котором находится источник силы. Обозначая вектор силы, с которой точка   действует на точку   , через  , а силы, с которой точка    действует на точку   ,  через   , по третьему закону Ньютона имеем:

.                                                           (2.6)

Необходимо отметить, что эти силы приложены к разным телам,  и нельзя говорить о  равнодействующей этих сил.

Инерциальные системы отсчета

Законы классической механики справедливы только в инерциальной системе отсчета. Инерциальной является система, в которой соблюдается закон инерции. Понятие инерциальной системы является идеализацией. В реальности не возможно создать такие условия, в которых на материальное тело не действовали другие тела, и только, если действие других тел пренебрежимо мало, то с определенной степенью точности можно такую систему считать инерциальной.Так, система отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной: в ней имеет место ускорение, обусловленное вращением Земли. Однако если это ускорение мало по сравнению с ускорениями, вызванными взаимодействием с телами, то Землю принимают за инерциальную систему. С высокой степенью точности инерциальной является другая реальная система отсчета – гелиоцентрическая. Центр ее следует совместить с центром Солнца, а оси системы координат направить на отдаленные (неподвижные) звезды. В этой системе изучается взаимное движение Солнца и планет, космических кораблей и станций.