Билет 21Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

постоянная.

Теор: пусть F₁(х) и F₂(x) - любые первообразные для функции ¦(x) на (a,b). Тогда всюду на этом ин­тервале F₁(х)–F₂(x)=C, где С - некоторая константа.

Док: введем функцию Ф(x)=F₁(х)–F₂(x). Производная этой функции = 0 на (a,b): Ф'(x)=F'₁(х)–F'₂(x)=¦(x)–¦(x)=0. => что есть констан­та на (a,b). В самом деле. Пусть x₀ - любая, но фиксированная точка интервала (a,b). С помощью теоремы Лагранжа выразим разность значений функций Ф(х)–Ф(х₀), где Х - любая точка (a,b): Ф(x)–Ф(x₀)=Ф'(x)(x–x₀)=0×(x–x₀)=0. В последней формуле x - точка, расположенная между x и x₀. Полагая С=Ф(х₀), имеем Ф(х­)=Ф(х­₀)=C, т.е. F₁(х)–F₂(x)=C. Теор. док.

Следствие: Если F(x) - первообразная функция для ¦(x) на (a,b), то любая другая первообразная Ф(x) для ¦(x) на (a,b) представима в виде Ф(x)=F(x)+C, где С - некоторая константа.

Определение: Совокупность всех первообразных функций для функции ¦(x) на (a,b) наз. неопределенным интегралом от функции ¦(x) и обознач: ò¦(x)dx. При этом знак ò наз. знаком интеграла, выражение ¦(x)dx наз. подъинтегральным выражением, а ¦(x) подъинтегральной функцией. В силу следствия теоремы о первообразных можно записать ò¦(x)dx=F(x)+C [1], где F(x) - какая-нибудь первообразная для ¦(x) на (a,b), а С - любая

Основные свойства неопределенного интеграла: Непосредственно из определения следуют свойства: 1) dò¦(x)dx=¦(x)dx;

2) òdF(x)= F(x)+C.

Для доказательства свойства 1) достаточно продифференциро­вать формулу [1]: d(ò¦(x)dx)= d(F(x)+C)= (F'+C')dx=¦(x)dx. Доказательство свойства 2) тоже основано на той же формуле 1), только нужно учесть, что dF(x)=¦(x)dx. Cвойства 1), 2) означают, что знаки d и ò взаимно сокращаются, только во втором случае еще добавляется слагаемым произвольная постоянная. Следующие два свойства наз. линейными свойствами неопределенного интеграла: 3) ò(¦(x)+g(x))dx=ò¦(x)dx+òg(x)dx; 4) òA¦(x)dx=Aò¦(x)dx, A=const. Доказательство свойств 3), 4) основано на факте, который уже использовался при доказательстве теоремы №1: если производные двух функций на интервале (a,b) совпадают, то на этом интервале функции отличаются на константу. Нетрудно убедиться, что производные левой и правой частей равенства 3 совпадают. (ò(¦(x)+g(x))dx)'= (¦(x)+g(x))= (ò(¦(x)dx)'+(òg(x)dx)'= (ò¦(x)+òg(x)dx)'. Стало быть свойство 3) имеет место. Аналогично доказывается свойство 4).

Билет 22Способ подстановки (замены переменных неопред интеграл).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.