2. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода итера­ции. Основная его идея заключается в том, что при вычислении ( )- го приближения неизвестной х, учитываются уже вычисленные ранее ( )-е приближение неизвестных x1,x2,x3…

Теорема 4. Если для линейной системы (5) выполнено условие

≤1

то процесс Зейделя для системы сходится к единственному ее ре­шенью при любом выборе начального вектора

Оценка погрешности приближений процесса Зейделя но m-нормe:

3. Приближенные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Отделение корней, т.Е. Установление возможно тесных промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения.

Теорема 1. Если непрерывная функция f(х) принимает значения раз­ных знаков на концах отрезка [a,b] т.е, f(a)*f(b) < 0, то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(х) = 0

Пример

X	Знак f(х)	X	Знак f(х)
-∞	-	1	-
-3	-	3	+
-1	-	+∞	+
0	+

2. Метод хорд решения уравнений

Правило : при решении уравнения f(х) = О методом хорд на [а,b] неподвижным концом будет тот конец отрезка, знак функции в котором совпадает со знаком второй производной па всем отрезке [а,b], другой конец отрезка следует принять за начальное приближение Хо

Если неподвижна точка a, то формула:

(

Если неподвижна точка b, то формула:

(

3. Метод касательных решения уравнений

Геометрически метод касательных эквивалентен замене небольшой дуги кривой у = f(х) касательной, проведенной в некоторой точке кри­вой.

Правило: при решении уравнения f(х) = 0 методом каса­тельных за нулевое приближение необходимо выбрать тот конец отрезка [а,b], знак функции в котором совпадает со знаком второй производной данной функции на всем отрезке [а,b].

Формула:

4. Метод итерации решения уравнений

Теорема 3. Пусть функция φ (х) определена и дифференцируема на от­резке [а,b], причем все ее значения φ (х) ∈ [а,b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что при а < х < b

То, во-первых, процесс итерации

сходится независимо от начального значения ∈ [а,b].

Bо-вторых, предельное значение

ξ=

является единственным корнем уравнения х = на отрезке [а,b].

Оценка приближения:

Формула:

5. Метод итераций решения системы двух уравнений

Необходимо:

1. Преобразовать систему к виду

2. Найти область D и показать, что 3 теоремы выполняются в этой области.

3. С помощью формулы уточнить корень уравнения.

Формула:

Процесс сходится, если выполнены все три теоремы:

Теоремы: Пусть в некоторой области D = {а ≤ х ≤ А; b ≤ у ≤ B}

имеется одна и только одна пара корней х = и у = η систем.

Если:

1) функции и определены и непре­рывно дифференцируемы в D.

2) начальные приближения и и все

последующие приближения х_п, y_п (n = 1,2…) принадлежат D

3) В D выполнены неравенства

+ ≤ <1

+ ≤ <1

то процесс последовательных приближений (27) сходится

Эти неравенства можно переписать в виде:

+ ≤ <1

+ ≤ <1