Геометрические векторы.

Свойства:

1. + + = + ( + ) - Ассоциативность сложения

2. =

3. (n=0,1,2,3) = =0

1-4 это абилева группа или коммутативная

4. + = + - Коммутативность сложения

5. - Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов

6. - Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел

7. - Ассоциативность умножения на число

8. 

1-8 имеют место для любых , ,

V – векторное пространство.

Линейная комбинация – вектор равен сумме произведений

Вектор = _i a_i = ₁ ᾱ₁ + ₂ ᾱ₂ + ... + _mᾱ_m называется линейной комбинацией векторов системы А_m.

Система комбинаций является тривиальной, если все ее элементы равны нулю.

Система называется линейно зависимой, если существует нетривиальная система.

Система называется линейно независимой, если равенство нулю ее линейных комбинаций возможно только в тривиальном виде.

Линейная комбинация называется тривиальной если все ее коэффициенты равны нулю.

Критерий линейной зависимости

Система А_m линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы линейно выражается через остальные векторы этой же системы.

Система A_m линейно независима тогда и только тогда, когда всякий вектор линейно выражающийся через нее единственен.

Система векторов A_n= называется базисом, если:

1) A_n – линейно независима,

2) Є V линейно выражаемый через A_n.

Т.е. = = + +… (1)

Формула (1) называется формулой разложения вектора по базису A, а коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в базисе A_n.

Теорема

Любые 2 базиса в одном и том же векторном пространстве V состоят из одинакового числа векторов.

Число векторов любого базиса данного векторного пространства называют размерностью векторного пространства dimV=n.

Аналитическая геометрия

Ориентация базисов

Пⁿ n=0, 1, 2, 3

П⁰ – точка

П¹ – прямая

П² – плоскость

П³ – пространство

Vⁿ – множество векторов на Пⁿ

Vⁿ – векторное пространство

(Пⁿ,Vⁿ) – аффинное пространство

dimVⁿ=n

V¹ – прямая линия

Говорят, что 2 базиса на прямой ( и ) имеют одинаковую ориентацию, если коэффициент пропорциональности ( ) между ними больше нуля, в противном случае они имеют противоположную ориентацию.

Любой вектор в аффинном пространстве называется радиус-вектором (аффинной прямой).

Вращение по кротчайшему пути против часовой стрелки базис называется положительным или правым, по часовой стрелке базис называется левым.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если ее векторы расположены в том же порядке что и 3 пальца правой руки.

Аффинная система координат (АСК) в Пⁿ называется пара, состоящая из точки О и базиса (О, ) векторного пространства Vⁿ.

Векторы и смешанное произведение векторов.

Векторное пространство называется ориентированным, если в этом пространстве осуществлен выбор одного из двух классов одинаковых ориентированных базисов.

Смешанное произведение векторов , , в указанном порядке называется число:

([ , ], ).

Свойства:

1. При циклической перестановке векторов базиса мы получаем базис той же ориентации что и исходной

2. Если 2 вектора базиса поменять местами, то получится новый базис противоположной ориентации.

Леммы:

1. Упорядоченная тройка некомпланарных , , векторов является правой тогда и только тогда, когда проекция на >0.

n - ортогональный и ; , , - прав.

2. Если любой фиксированный вектор любому вектору => =0

Коментарий: При этом 2 и 3 условия бессмысленны, если хотя бы один из данных векторов является нулем.

Векторным произведением на называется такой вектор , что:

1. | |=| || |sin( ^ )

2. ,

3. , , – правая

Свойства:

1. [ , ] = 0  ||

2. [ , ] = -[ ]

3. [ , ] = [ , ]

4. [ + , ] = [ , ] + [ , ]

Векторное или аффинное пространство, в котором введено скалярное произведение, является Евклидовым пространством.