2.3. Связь векторного и координатного способов.

Пусть движение точки задается координатным способом. Тогда формулы (13) и (15) определяют вектор-функцию , которая является основой для векторного способа задания движения.

Пусть движение точки задается векторным способом. Тогда из (13) и (15) можем получить координатный способ задания движения, если вычислим координаты вектор-функции . Если системой отсчета является система , то, умножая (13) скалярно на ,  ,  последовательно, получим

, , .

Здесь ,  ,  — координаты точки, вычисленные по ее заданному положению в любой момент времени . Как видно из этих выражений, геометрические координаты точки в любой момент времени равны ортогональным проекциям вектор-функции на оси системы отсчета  в момент времени .

Аналогично, если система отсчета является аффинной , то, умножая (15) последовательно скалярно на векторы , , , получим = , , .

Отсюда

, (19)

где введено обозначение .

Замечание.

Легко показать, что , если система координат правая; , если эта система левая.

Аналогично (при умножении на ( ) и на ( )), получим

, (20)

. (21)

Таким образом находятся координаты точки  в аффинной системе при известном векторе .

Примечание.

Выражения (20) и (21) легко можно записать, зная формулу (19). Обозначим последовательность индексов у переменных ,  в виде

1 —> 2 —> 3 —> 1 (22)

и последовательность индексов у ортов также в виде

1 —> 2 —> 3 —> 1. (23)

Тогда соотношение (20) получается из (19) заменой в равенстве (19) индекса «1» при на следующий за ним в последовательности (22) индекс «2», и заменой индексов «2» и «3» у ортов на следующие за ними в последовательности (23) индексы «3» и «1».

После записи выражения (20) соотношение (21) строится аналогичным образом из (20) по правилу замены индексов при и согласно схемам (22) и (23).

Если две или более формулы выводятся последовательно друг из друга заменой переменных и (или) индексов на их другие значения из заданных упорядоченных последовательностей, то говорят, что последовательность формул строится по правилу круговой перестановки заданных переменных и (или) индексов.

Таким образом, согласно данной формулировке можно сказать, что последовательность формул (19),(20),(21) строится круговой перестановкой переменных —> —> —>

и ортов —> —> —> ,

или, иначе, — круговой перестановкой индексов 1—>2—>3—>1 у переменных и ортов .

§2. Естественный способ задания движения точки.

1º. Понятие траектории движения.

Пусть движение материальной точки описывается векторным способом

, , (1)

где — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором рассматривается движение, , — множество вещественных чисел.

Вектор-функция  — вещественная, однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая. Соотношение (1) в каждый момент времени задает в евклидовом пространстве  геометрическую точку, в которой находится в этот момент движущаяся материальная точка.

Если дополнить пространство  четвертым независимым измерением — временной осью , то в этом четырехмерном пространстве уравнение (1) при изменении координаты задает кривую, которая называется графиком движения.

Будем теперь в соотношении (1) смотреть на как на параметр, принимающий значения из промежутка  .

В абсолютном пространстве  построим множество  точек  , образованное концами векторов  при всех значениях этого параметра. За начало векторов  при всех будем брать точку отсчета  .

Из определений 2 и 3 (см. п.2º, §2 Введения) и определения 1 (см. п.1º, §4 Введения) следует, что множество  состоит из положений материальной точки, каждое из которых она может занимать в абсолютном пространстве хотя бы при одном значении времени , совершая движение  .

Определение 1.

Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех положений материальной точки, каждое из которых она может занимать, совершая движение  , называется траекторией материальной точки.

Аналитически траектория описывается равенством (1), которое по сути является непрерывным отображением множества  вещественной оси  на трехмерное евклидово пространство  . Оно задает в  однопараметрическое семейство точек, которое в геометрии называется кривой. Таким образом, траектория движения материальной точки — это кривая в трехмерном евклидовом пространстве. В отличие от графика движения, который строится в четырехмерном пространстве, где четвертой координатой служит время  , траектория строится в трехмерном пространстве и является проекцией графика движения на абсолютное пространство  .

Траектория отличается от графика движения еще и тем, что график движения — всегда самонепересекающаяся кривая, а траектория может быть как самонепересекающейся, так и самопересекающейся и (или) замкнутой.

Соотношение (1) дает векторное описание траектории. Если в пространстве  фиксирована система отсчета  , то траектория движения определяется в координатной форме тремя равенствами

, , , ,

где ,  ,  — координатные функции вектор-функции  .

Пример.

Пусть точка совершает движение в плоскости  на промежутке времени  по закону

, , .

Графиком ее движения, очевидно, будет являться винтовая линия на цилиндре радиуса  с осью, совпадающей с координатной осью изменения времени  (см. рис.1).

Траекторией движения является окружность радиуса  в плоскости  (см. рис.2). Стрелками указано направление движения точки по этой траектории при возрастании  .

Рис. 1. Рис.2.

В механике для любой вектор-функции  , заданной и непрерывной на некотором промежутке времени  , вводится понятие ее годографа.

Определение 2.

Годографом вектор-функции  называется геометрическое место точек в абсолютном пространстве, образованное концами векторов , имеющих своим началом точку отсчета  .

Очевидно, годограф вектор-функции  , задающей движение, совпадает с траекторией движения точки.

Понятие годографа чаще всего применяется к скорости движения точки (называется годографом скорости) и к ее ускорению (годограф ускорения).

Если известна скорость  материальной точки при всех , то для построения ее годографа следует параллельным переносом совместить начало вектора скорости точки  с точкой отсчета  в каждый момент времени  . Тогда геометрическое место концов построенного таким образом множества векторов при всех будет являться годографом вектора скорости  точки  . Аналогично строится годограф ускорения  этой точки.

Параметрически годограф скорости  в трехмерном пространстве задается уравнениями

где — координаты точек годографа скорости, а — координаты скорости материальной точки.

Аналогично для годографа ускорения  параметрические уравнения имеют вид

где — координаты точек годографа ускорения, а — координаты ускорения материальной точки.