- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Криволинейный интеграл II рода определяется так же, как и интеграл I.Пусть в пространстве ( ) задан вектор ,
координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной кривой .Кривую разобьем в направлении от A к B на n элементарных дуг и построим векторы , где проекции векторов на оси координат.
Начала этих векторов совпадают с началом элементарных дуг , а концы – с их концами. На каждой элементарной части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму
.
Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , и не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора произвольной точки , называется криволинейным интегралом второго рода (КРИ-II) или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции по кривой . Обозначается:
.
(2.6)
Если функции непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.
Основные свойства КРИ-II
1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.
.
2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.
.
Если кривая интегрирования замкнута, криволинейный интеграл II рода обозначается . В этом случае через кривую проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по L принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривойL, находится слева, если двигаться вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности, т.е. за положительный обход контура L принимается обход против хода часовой стрелки.
Если плоскую область , ограниченную кривой , разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми и , то ,где направления обхода по контурам , и всюду либо положительные, либо отрицательные.
15. Формула Остроградского – Грина.
Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.
Пусть на плоскости задана правильная, односвязная область . Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит (область без «дыр»).
Теорема 2.1. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то
, (2.10)где интегрирование по контуру выполняется в положительном направлении.Формулу (2.10) называется формулой Остроградского – Грина.
Если в некоторой области выполняются условия теоремы 2.1. и , то справедливы следующие утверждения:
Если любой замкнутый контур, расположенный в области , то .
Интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки и , где .
, где полный дифференциал функции .