- •Содержание
- •Лекция 1 Основные понятия теории управления. Принципы и типовые структуры управления
- •Лекция 2 Математические модели систем автоматического регулирования
- •Лекция 3 Частотные характеристики разомкнутой системы
- •Лекция 4 Исследование устойчивости и показателей качества системы
- •Лекция 5 Модель динамической системы в пространстве состояний
- •Лекция 6 Исследование системы на модели в пространстве состояний
- •Лекция 7 Основы теории дискретных систем управления
- •Лекция 8 Исследование свойств дискретной сар
- •Лекция 9 Иерархия задач управления сложными системами
- •Лекция 10 Понятие о задачах оптимизации
- •Лекция 11 Адаптивные системы управления
- •Лекция 12 Основные понятия теории управления организационными системами
- •Лекция 13 Элементы теории игр
- •Лекция 14 Модели иерархических игр
- •Лекция 15 Классификация задач и механизмов управления
- •Контрольные вопросы по курсу “Основы теории управления”
- •Литература
Лекция 5 Модель динамической системы в пространстве состояний
Исследование систем с помощью передаточных функций и частотных характеристик позволяет обеспечить требования устойчивости системы и требуемых показателей качества, однако имеется ряд свойств систем управления, которые невозможно оценить с помощью передаточных функций и частотных характеристик. Такими свойствами являются:
управляемость системы;
наблюдаемость системы.
Эти свойства можно ценить только по модели в пространстве состояний.
Построение модели в пространстве состояний (МПС)
Пусть управляемый объект задается передаточной функцией W(p) = (bmpm + … + b1p + b0) / (anpn + … + a1p + a0), (1)
где m <= n, отсюда Y(p) = (bmpm + … + b1p + b0) / (anpn + … + a1p + a0) * U(p)
Введем обозначение: Z1(p) = U(p) / (anpn + … + a1p + a0), (2) тогда Y(p) =(bmpm + … + b1p + + b0) * Z1(p). (3)
Используя теорему о дифференцировании оригинала, перейдем от алгебраических уравнений (2) и (3) к дифференциальным уравнениям: an·dnz1/dtn + … + a1·dz1/dt + a0z1(t) = u(t); (4)
y(t) = bm·dmz1/dtm + … + b1·dz1/dt + b0z1(t). (5)
Решая уравнение (4) с некоторыми начальными условиями, можно найти функцию z1(t), после чего по выражению (5) определяется выходной сигнал y(t). Уравнение (4) n-го порядка можно записать системой из n дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводятся промежуточные переменные :
dz1/dt = z2;
dz2/dt = z3;
……..;
dzn-1/dt = zn. (6)
После этого из уравнения (4) находим:
dzn/dt = –an-1*zn/an – an-2*zn-1/an - … - a1*z2/an – a0*z1/an + 1*u(t)/an.
Введем вектор z = [z1(t); z2(t); …; zn(t)] , где – символ транспонирования вектора, и матрицы A, B.
Тогда систему уравнений (6) можно записать в матричной форме следующим образом:
dz/dt = Az + Bu(t) (7)
Учитывая условие физической реализуемости (m≤n), положим:
bn = bn-1 = … = bm+1 = 0,
тогда уравнение (5) можно записать в виде:
y(t) = bndnz1/dtn + … + bm+1dm+1z1/dtm+1+bmdmz1/dtm + … + + b1dz1/dt + b0z1
Используя соотношения (6), преобразуем это уравнение к виду:
y(t) = (b0-a0bn/an)z1 + (b1-a1bn/an)z2 + … + (bn-1-an-1bn/an)zn + bnU(t)/an. (8)
Введем матрицу C = [(b0-a0bn/an); (b1-a1bn/an); … ; (bn-1-an-1bn/an) ] размером [1xn] и скаляр D = [bn/an], тогда выражение (8) запишется так:
y(t) = Cz(t) + Du(t) . (9)
Матричные уравнения (7,9), задаваемые 4-мя матрицами A,B,C,D, называются моделью САР в пространстве состояний (МПС), векторная
функция z(t) характеризует изменение вектора состояния с течением времени.
Вектором состояния системы называется такой вектор, знание которого в некоторой момент времени t0 вместе с входным воздействием u(t) на интервале t ≥ t0 позволяет определить состояние системы z(t) в любой момент времени из интервала t ≥ t0 . Это состояние z(t) для любого момента времени t ≥ t0 определяется путем решения матричного дифференциального уравнения (7). Решая (7) с начальным условием z(t0)=z0, получим: z(t) = eA(t-t0) z0 + A(t-τ) Bu(τ)dτ (10).
В выражении (10) матричная компонента Ф(t)=eAt называется фундаментальной матрицей уравнения (7). Зная фундаментальную матрицу,
решение уравнения (7) можно записать в следующем виде:
z(t) = Ф(t-t0)z0 + (t- τ)Bu(τ)dτ . (11)
Способы вычисления фундаментальной матрицы
1) С помощью ряда Тейлора: eAt=E[nxn] + At/1! + A2t2/2! + … + Aktk/k! + (т.к. ex=1+x/1!+x2/2!+…)
2) Путем решения матричного уравнения: dФ/dt = AФ с начальным условием Ф(0) = E[nxn] – единичная матрица.
3) С помощью собственных чисел и собственных векторов матрицы А.
Получив решение уравнения (7), можно найти выходной сигнал y(t) по уравнению (9):
y(t) = CФ (t-t0) z0 + C (t-τ)Bu(τ)dτ + Du(t) . (12)
--------------------15 билет------------------------
Определение передаточной функции по известной модели в пространстве состояний
Модель (7,9) можно преобразовать в систему алгебраических уравнений с помощью преобразования Лапласа. z[nx1](t) Z[nx1](p); dz/t pZ(p)-Z(0). Задавая в уравнении (7) начальное условие z[nx1](0) = [0,…,0] и используя теорему о дифференцировании оригинала, получим: pZ(p) = AZ(p) + BU(p); (pE – A) Z(p) = BU(p);
Z(p) = (pE – A)-1 BU(p) (13).
Преобразуя по Лапласу равенство (8) и подставляя в него выражение (13), получим:
Y(p) = [C (pE-A)-1B + D] U(p) (14)
Отсюда находим передаточную функцию:
W(p) = Y(p)/U(p) = C[1xn](pE-A)-1[nxn]B[nx1] + D[1x1] (15).
--------------------16 билет------------------------