- •7. Как определяется операция умножения матрицы а на число λ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и λА размера nxn? Ответ обоснуйте.
- •10. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера nxn ранга n? Ответ обоснуйте.
- •8. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример применения правила Крамера для системы линейных уравнений от трех переменных.
- •17. Докажите что множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Как найти размерность этого пространства.
- •39. Дайте определение ортонормированной системы векторов.
- •9. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.
- •24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.
- •25. Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису.
- •31. Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •33. Дайте определение линейного пространства. Докажите, что симметрические матрицы порядка 2 образуют линейное пространство. Найдите его размерность.
- •42. Дайте определение скалярного произведения в Rn. Неравенство Коши-Буняковского.
- •44. Дайте определение фундаментального набора решений однородной слау
- •47. Могут ли фундаментальные наборы решений однородной слау различаться а) числом решений? Ответы обосновать.
- •52. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •63.Матрица линейного оператора.
- •68. Квадратная матрица a называется ортогональной
- •108. Кривые второго порядка.
24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.
Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Примеры линейных пространств:
1) пространство Rn;
2) множество решений однородной системы линейных уравнений;
3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;
4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;
5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;
6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.
25. Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису.
Система векторов из Rn называется базисом этого пространства, если:
1)Система ЛНЗ;
2) Любой вектор из Rn можно представить как линейную комбинацию векторов этой системы.
Теорема о базисе. Любая ЛНЗ система векторов из Rn явл. базисом Rn, когда число векторов этой системы равно n. Док-во. Пусть: { в1, в2, …, вm } ЛНЗ система в Rn, докажем, что m=n 1) m>n. Получим, что система ЛЗ(по теореме об ортогональном векторе), что противоречит условию; 2) m<n Пусть{ в1, в2, …, вm }- базис Rn, то для любого Х ЄRn х=х1в1+х2в2+…+хmвm; m<n,то по теореме о существовании ортогонального вектора есть ненулевой вектор, кот. Ортогонален любому вектору этой системы (у╨вi, i=1,…,n), то увi=0; у ЄRn, тогда у=у1в1+у2в2+…+уmвm, умножим это рав-во на само себя уу=( у1в1+у2в2+…+уmвm)у=у1(в1у1)+у2(у2в2)+…+уm(уmвm)=0; уу=0, то у=0, а по усл теоремы у≠0, противоречие, значит m<n неверно, тогда m=n.
26. Дайте определение линейного подпространства в Rn. Какие из множеств, образованных всевозможными векторами (х1, х2) из R2 такими, что а) х1 – х2 = 0, б) х1 - 2х2 = 1, в) х1 * х2 > 0 являются подпространствами, а какие нет? Ответ обоснуйте.
Опр. М назыв. Подпр-вом пр-ва L, если М замкнуто относит. слож.и умнож. на число, т.е. для любых эл-тов x и y из М и любого числа а х+у принадл М и ах принадл М.
Теор. Подпр-во является линейным пр-вом
Док-во: Т.к. пр-во замкнуто и принадл. L, то в нем выполн. все аксиомы линейного пр-ва. Аксиомы 3 и 4 выполнены также в силу 4-х теорем.
Пусть в пр-ве L выделены 2 подпр-ва M и N, тогда М Ụ N необязат. будут явл. подпр-вами.
Пример: 2 прямые на пл-ти.
Теор. Пересечение М и N подпространство.
Опр. М+N=х1+х2│х1 принадл. M, х2 принадл. N
Теор. M+N – подпр-во пр-ва L.
Док-во: Пусть х принадл. M+N и у принадл. M+N, т.е. х=х1+х2, у=у1+у2, х1 и у1 принадл. М. х2 и у2 принадл. N. х+у=(х1+у1)+(х2+у2) где х+у принадл. M+N т.к. х1+у1 принадл. M, а х2+у2 принадл. N. Аналогично доказывается, что ах принадл. M+N.
Пример: В R3 суммой двух одномерных пр-ств (прямых) явл. двумерное пр-во (плоскость, содерж. данные прямые).