- •Вопрос № 1 Понятие матрицы. Виды матриц
- •Вопрос № 2 Сложение матриц. Умножение матрицы на число
- •Вопрос № 3 Произведение матриц
- •Вопрос № 5 Определители матриц. Свойства определителей
- •Вопрос № 18
- •Вопрос № 12-(33) Замечательные пределы.
- •Вопрос № 14-(34) Односторонние и двусторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификации
- •Вопрос № 9
- •Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно большая величина. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа 0/0, бесконечность/ бесконечность
- •Вопрос № 7
- •Вопрос № 10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Вопрос № 8 Матрица, обратной данной и ее вычисление
- •Вопрос № 20-(40) Производные высших порядков Механистический смысл 2ой производной
- •Вопрос № 19-(39) Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Вопрос № 22-(42) Теорема Роля, Коши, Лангранжа о дифференцируемых функциях
- •Билет № 17-(37) Правило дифференцирования. Таблица производных
- •Вопрос № 16-(36)
- •Вопрос № 15-(35)
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Вопрос № 10-(43)
- •Вопрос № 8-(44) Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции
- •Вопрос № 7-(43)
- •Вопрос № 6-(46) Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков
- •Вопрос № 20 Параллельный перенос и поворот осей координат
- •Вопрос № 21 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос № 23 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Вопрос № 1-(24) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •Вопрос № 11 Методом Крамера
- •Вопрос № 13 Понятие вектора. Операции над векторами в геометрической форме
- •Вопрос № 14 Проекции вектора на ось и ее свойства
- •Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.
- •Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах
- •Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Уравнение параболы и исследование ее формы
- •Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
- •Вопрос № 4-(25)
Уравнение параболы и исследование ее формы
Пара́бола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус называется осью параболы. Это прямая является (единственной) осью симметрии параболы.
Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы , или .
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что с2 – а2 = b2: Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Аси́мпто́та— прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
ВОПРОС № 3-(26)
Уравнение эллипса и исследование его формы. Эксцентриситет эллипса
Эллипсом ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Уравнение эллипса ( рис.1 ) :
Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.
Отрезок F1F2 = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:
Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 : k 2 = m 2 a 2 + b 2 .
Вопрос № 4-(25)
Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Линии второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
нераспадающиеся линии:
— эллипсы,
— гиперболы,
y2 = 2px — параболы,
— мнимые эллипсы;
распадающиеся линии:
— пары пересекающихся прямых,
— пары мнимых пересекающихся прямых,
x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,
x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,
x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
ВОПРОС № 19
Расстояние между двумя точками на плоскости расчитывается по следующей формуле:
где x1 и y1 координаты первой точки, а x2 и y2 координаты второй точки.
Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве расчитывается по следующей формуле:
где x1, y1 и z1 координаты первой точки, а x2, y2 и z2 координаты второй точки.
ВОПРОС № 16
Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а=(ax; ay; az) и b=( bx; by; bz) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое
а = ах •i + ау • j +аz • k, b =bх • i + bу • j + bz • k.
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:
1. а ± b = (ах±bх)i + (ау±by)j + ( az± bz)k, или кратко а ± b = (ах ±bx; ay± by; az ± bz). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).
2. l а = l ах • i + l ау • j + l az • k или короче l а = (lах; lау; lаz). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: aх= bх; ау=by; az= bz ,т. е.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов а и b, заданных своими координатами.
Так как а || b, то можно записать а = l • b, где l-некоторое число. То есть
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМназываются координатами точки М. ВекторОМназывается радиус-вектором точки
М, обозначается r , т. е. ОМ= r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора
Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).
Координаты вектораНайдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A( x1; y1; z1) и В( x2;у2; z2). Имеем (см. рис. 13):
AB=OB-OA=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2 - x1)i+(y2 - y1)j+(z2 - z1)k
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2-х1;у2-у1; z2- z1).