2.2 Формула разложения числа по степеням основания
Пусть в десятичной системе задано некоторое число А(10)=3745. Каждая позиция, занимаемая цифрами, называется разрядом числа. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Названия разрядов определяют их вес: единицы, десятки, сотни, тысячи. Поэтому количественный эквивалент цифры в записи числа равен произведению значения цифры на вес разряда, где она записана.
Заданное число, не изменяя его количества, можно записать следующими способами:
А(10)=3745;
А(10)=3000+700+40+5;
А(10)=3
1000+7
100+4
10+5;
А(10)=3
103+7
102+4
101+5
100.
Последнюю запись называют разложением числа по степеням основания. Формула разложения показывает, что число в позиционной системе можно представить в виде суммы количественных эквивалентов цифр, которые в свою очередь равны произведению цифры на степень основания, т.е. на вес разряда.
Запишем целое четырехразрядное десятичное число и формулу его разложения в общем виде:
A(10)=a3a2a1a0=
a3
103+
a2
102+
a1
101+
a0
100.
Заметим, что номера разрядов числа совпадают с показателями степени основания. Смешанная десятичная дробь, имеющая по четыре разряда в целой и дробной части, и формула его разложения запишется так (опустим знаки умножения):
A(10)=a3a2a1a0,a-1a-2a-3a-4=
a3
103+a2
102+a1
101+a0
100+a-1
10-1
+
+a-2
10-2+a-3
10-3+a-4
10-4.
В принятых обозначениях формула
количественного эквивалента цифры i-гo
разряда в записи десятичного числа
такая: Вi=аi
10i.
Формула разложения смешанной дроби, имеющей n+1 разрядов в целой части и m разрядов в дробной, в позиционной системе с основанием р запишется так:
A(p)=anan-1…a3a2a1a0,a-1a-2a-3a-4…a-m+1a-m=
an
pn+
an-1
pn-1+…+
a2
p2+
+ a1
p1+
a0
p0+a-1
p-1+a-2
p-2+…+a-m+1
p-m+1+a-m
p-m.
2.3 Перевод чисел между системами счисления
2.3.1 Перевод с использованием формулы разложения
Наиболее простой способ перевода заключается в суммировании количественных эквивалентов цифр заданного числа. Действия при переводе выполняются в новой системе, поэтому способ удобно использовать для перевода чисел в десятичную систему. В основе способа лежит использование значений степеней основания чисел. Некоторые степени оснований 10, 2, 8 и 16 приведены в таблице 2. Часть клеток таблицы не заполнена ввиду значительной величины чисел.
Таблица 2 – Таблица степеней оснований pn
|
n |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
|
p=10 |
107 |
107 |
107 |
107 |
107 |
107 |
107 |
1 |
.1 |
.01 |
.001 |
|
|
p=2 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
1/16 |
|
p=8 |
|
|
|
|
512 |
64 |
8 |
1 |
1/8 |
1/64 |
1/512 |
|
|
p=16 |
|
|
|
|
|
256 |
16 |
1 |
1/16 |
1/256 |
|
|
Пример 4
Дано: A(2)=1101. Найти A(10).
Решение. Записываем формулу разложения двоичного числа по степеням основания:
A(2)=a3a2a1a0=
A(10)=a3
23+a2
22+a1
21+a0
20
=a3
8+a2
4+a1
2+a0
1.
Подставим в формулу значения разрядов заданного двоичного числа и выполним действия:
A(10)=1
8+1
4+0
2+1
1=13.
Воспользовавшись таблицей 1, убедимся, что получен правильный результат. Действительно, двоичному числу 1101(2) соответствует десятичное число 13(10) .
Ответ:A(10)=13.
Пример 5
Дано: A(2)=10111,101. Найти A(10).
Решение. Записываем формулу разложения двоичного числа по степеням основания:
A(2)=a4a3a2a1a0,a-1a-2a-3=A(10)=a4
24+a3
23+a2
22+a1
21+a0
20
+ a-1
2-1+
+a-2
2-2+a-3
2-3=a4
16+a3
8+a2
4+a1
2+a0
1+a-1
+a-2
+
a-3
.
Подставим в формулу значения разрядов заданного двоичного числа и выполним действия:
A(10)=1
16+0
8+1
4+1
2+1
1+1
+0
+1
=23
.
Ответ:A(10)=23
.
Пример 6
Дано: A(8)=135,42. Найти A(10).
Решение. Записываем формулу разложения двоичного числа по степеням основания:
A(8)=a2a1a0,a-1a-2=A(10)=a2
82+a1
81+a0
80
+ a-1
8-1+a-2
8-2.
Подставим в формулу значения разрядов заданного восьмеричного числа и выполним действия:
A(10)=1
64+3
8+5+4
+2
=93
.
Ответ:A(10)=
93
.
Пример 7
Дано: A(16)=2A,3E. Найти A(10).
Решение. Записываем формулу разложения двоичного числа по степеням основания:
A(16)=a1a0,a-1a-2=A(10)=a1
161+a0
160
+a-1
16-1+a-2
16-2.
Подставим в формулу значения разрядов заданного шестнадцатеричного числа и выполним действия:
A(10)=2
16+10
1+3
+14
=42
.
Ответ:A(10)=42
.