- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Относительная частота. Статистические определения вероятности
- •Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Формулы полной вероятности и Бейеса
- •Случайная величина. Закон распределения случайной величины. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Плотность распределения вероятностей и числовые характеристики непрерывных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные законы распределения непрерывных случайных величин
- •Закон больших чисел
- •Математическая статистика
- •Приложения
Случайная величина. Закон распределения случайной величины. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Пример. В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны . Составить закон распределения случайной величины X – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.
Решение. X – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:
все три прибора не выйдут из строя в течении гарантийного срока;
один прибор выйдет из строя;
два прибора выйдут из строя;
три прибора выйдут из строя.
Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию, вероятности выхода из строя приборов равны: тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:
Закон распределения имеет вид:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,684 |
0,283 |
0,032 |
0,001 |
Проверка: 1.
Пример. Предприятие выпускает 90 % изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины X – числа изделий высшего сорта из трех, взятых наудачу изделий.
Решение. Случайная величина X – число изделий высшего сорта среди трех отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:
,
Закон распределения случайной величины X:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,001 |
0,027 |
0,243 |
0,729 |
Проверка: = 0,001 + 0,027 + 0,243 +
+ 0,729 = 1.
Пример. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берет наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трех взятых.
Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных, подчиняется гипергеометрическому закону распределения . Воспользуемся формулой:
Закон распределения случайной величины X:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Проверка:=
Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения
2 |
4 |
5 |
7 |
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Составить функцию распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащие интервалу (3;6).
Решение. 1) По определению есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x.
Таким образом функция распределения примет вид:
Построим график F(x):
2) Найдем вероятность по формуле , тогда
Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения
X |
2 |
4 |
5 |
7 |
Р |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Найти: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .
Решение. По формуле находим математическое ожидание X:
По формулам и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
X |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
0 |
2 |
3 |
P |
0,1 |
? |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,4 |
? |
Пример. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:
а) найти
б) составить закон распределения случайной величины Найти M(Z), D(Z) и проверить выполняемость свойств в) составить закон распределения . Найти M(V) и проверить выполняемость свойства
Решение: а) Так как
Запишем закон распределения случайных величин X и Y с учетом их вероятности:
X |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
0 |
2 |
3 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
б) Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:
1+0=1 |
1+2=3 |
1+3=4 |
3+0=3 |
|
3+2=5 |
3+3=6 |
4+0=4 |
4+2=6 |
4+3=7 |
Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0,02 |
0,1 |
0,16 |
0,12 |
0,36 |
0,24 |
в) Составим закон распределения . Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений равны произведениям вероятностей сомножителей:
1 |
||||||||
0,02 |
0,04 |
0,04 |
0,06 |
|||||
0,12 |
0,12 |
0,12 |
0,24 |
0,24 |
Одинаковые значения величины объединяем, складывая их вероятности.
Закон распределения записываем так:
0 |
2 |
3 |
6 |
8 |
9 |
12 |
|
0,2 |
0,04 |
0,04 |
0,12 |
0,24 |
0,12 |
0,24 |
Найдем
Таким образом,