5. Элементарные преобразования графиков
Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. Пусть построен график функции . Тогда:
1) график функции получается из графика функции переносом вдоль оси 0X на a единиц влево, если , или на единиц вправо, если ;
2) график функции получается из графика функции переносом на b единиц вверх, если b > 0, или на единиц вниз, если ;
3) график функции получается из графика функции сжатием вдоль оси 0X в раз, если , или растяжением в раз, если ;
4) график функции получается из графика функции растяжением вдоль оси 0Y в c раз, если (при сжатием в раз);
5) графики функций и симметричны относительно оси 0Y; графики функций и симметричны относительно оси 0X.
Пример 6. Построить график функции
а б
в г
Подчеркнем, что величина сдвига вдоль оси определяется той постоянной, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу . Поэтому для нахождения этой постоянной функцию преобразуют к виду . Здесь сдвиг вдоль оси на единиц.
Например, . Значит, график функции получается из графика функции переносом вдоль оси на единиц вправо.
Пример 7. Построить график функции
.
а
б
в
г
Отметим также следующее. Пусть заданы функция и ее график. Тогда выражения , и определяются следующим образом:
Графики этих функций приведены на рисунках, представленных ниже.
Задание 6.1
Для заданной функции f(x) = x4 + px3 + qx2 + rx +c и отрезка [a; b] (коэффициенты приведены в таблице) найдите:
а) промежутки возрастания, убывания и точки экстремума;
б) наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке [a; b].
варианта |
p |
q |
r |
c |
a |
b |
1 |
12 |
52 |
96 |
–5 |
–5 |
0 |
2 |
–8/3 |
–2 |
8 |
3 |
0 |
3 |
3 |
16/3 |
2 |
–24 |
1 |
–4 |
0 |
4 |
8/3 |
–10 |
–24 |
2 |
–2 |
3 |
5 |
–16/3 |
12 |
0 |
–1 |
–2 |
2 |
варианта |
p |
q |
r |
c |
a |
b |
6 |
8/3 |
2 |
–8 |
1 |
–3 |
1 |
7 |
32/3 |
–38 |
48 |
–3 |
–3 |
1 |
8 |
–4/3 |
–12 |
0 |
5 |
–3 |
1 |
9 |
4 |
–8 |
–48 |
1 |
–4 |
1 |
10 |
4/3 |
–18 |
–36 |
2 |
–2 |
4 |
11 |
20/3 |
4 |
–32 |
–1 |
–3 |
2 |
12 |
–28/3 |
28 |
–8 |
3 |
0 |
3 |
13 |
20/3 |
–4 |
–36 |
–1 |
–3 |
3 |
14 |
16/3 |
–8 |
–64 |
2 |
–3 |
3 |
15 |
16/3 |
–18 |
–144 |
1 |
–4 |
1 |
16 |
4/3 |
–8 |
–16 |
–3 |
–3 |
1 |
17 |
28/3 |
24 |
0 |
5 |
–3 |
1 |
18 |
–20/3 |
2 |
24 |
1 |
0 |
4 |
19 |
4 |
–20 |
–96 |
0 |
–1 |
4 |
20 |
8/3 |
–18 |
–72 |
–1 |
–3 |
1 |
21 |
0 |
–26 |
–48 |
6 |
–2 |
2 |
22 |
–6/3 |
6 |
0 |
5 |
–1 |
2 |
23 |
8 |
22 |
24 |
–1 |
–2 |
0 |
24 |
4 |
–2 |
–12 |
2 |
–2 |
2 |
25 |
0 |
–14 |
–24 |
–3 |
–3 |
0 |
26 |
–4/3 |
–20 |
–32 |
1 |
–3 |
1 |
27 |
–8/3 |
–10 |
24 |
–2 |
–2 |
2 |
28 |
–20/3 |
12 |
0 |
3 |
–1 |
1 |
29 |
–4/3 |
–8 |
16 |
–4 |
0 |
3 |
30 |
–4/3 |
–4 |
0 |
–5 |
–2 |
1 |