2. Генерация входных потоков

Входной поток заявок однозначно задается последовательностью моментов времени поступления заявок в систему t₁, t₂, ..., t_n. Однако для моделирования удобнее рассматривать случайные величины t, определяющие длину интервалов между моментами поступления заявок. Тогда для имитации входного потока достаточно получить последовательность значений случайной величины t с некоторым законом распределения.

Пусть на вход системы поступает простейший поток с интенсивностью λ. Дифференциальная функция распределения продолжительности интервалов между заявками такого потока подчиняется экспоненциальному закону . Имитация простейшего входного потока состоит в получении последовательности n значений непрерывной случайной величины t с экспоненциальным законом распределения. Для этого используется следующее соотношение, полученное на основе метода обратной функции.

t= -(1/) ln(1-ξ),

где ξ – значение случайной величины с равномерным распределением на интервала [0; 1).

Аналогично может быть получена последовательность и для других законов распределения значений продолжительности интервалов между заявками. Такой же прием используются и для формирования случайных значений времени обслуживания.

Потоком более общего типа является поток Пальма, обладающий свойствами стационарности, ординарности и ограниченного последействия.

Важными для практики образцами потока Пальма являются потоки Эрланга различных порядков. Потоком Эрланга порядка m называется поток, образуемый из простейшего в результате «просеивания» последнего, когда выбрасываются все точки, за исключением т-ой. Для потока Эрланга порядка m дифференциальная функция распределения интервалов имеет вид:

где — интенсивность потока Эрланга, а — интенсивность исходного потока Пуассона. Очевидно, что простейший поток является частным случаем потока Эрланга при m = 1.

3. Модель функционирования элементарных смо

Модель функционирования элементарных СМО, как правило, включают: модель входного потока и модель обслуживания заявок группой устройств, если используется дисциплина обслуживания с потерями; или модель обслуживания заявок одним устройством, если используется дисциплина обслуживания с ожиданием.

Графическая модель процесса поступления заявок показана на рис. 3.1, каждая заявка входного потока характеризуется продолжительностью обслуживания t_обсл.

Модель процесса обслуживания заявок четырьмя устройствами показана на рис. 3.7, основания стрелок соответствуют моментам поступления заявок.

Рис. 3.7. Модель процесса обслуживания заявок группой устройств

Задача имитации потока заявок и процесса его обслуживания состоит в получении последовательностей случайных чисел с заданными законами распределения вероятностей.

В качестве модели процесса поступления заявок рассмотрим простейший поток. Как было показано выше (раздел 3.1), интервалы времени t между последовательными поступлениями заявок в простейшем потоке являются непрерывными случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону с параметром , равным интенсивности потока, а средний интервал времени между поступлениями заявок ∆t_ср =.

Производительность системы обслуживания зависит от числа каналов и их быстродействия. Время обслуживания одной заявки t_обсл является непрерывной случайной величиной, обычно считают, что она распределена по экспоненциальному закону.

Экспоненциальный закон особенно хорошо описывает такие системы, которые сравнительно быстро обслуживают основную часть заявок, а длительные сроки обслуживания тем реже, чем больше они занимают времени. Статистический анализ существующих сетей передачи данных показывает, что предположение об экспоненциальном распределении времени обслуживания приводит к относительно хорошим результатам.

Если время обслуживания ‑ t_обсл имеет экспоненциальное распределение, то (t>0). Тогда среднее время обслуживания (t_обсл)_ср определяется математическим ожиданием t_обсл, которое равно 1/. Таким образом, параметр  представляет собой величину, обратную среднему времени обслуживания и его часто называют интенсивностью обслуживания. Дисперсия времени обслуживания равна 1/², а интегральная функция распределения

представляет собой вероятность того, что обслуживание закончится за время t, т.е. вероятность освобождения за время t канала обслуживания. Очевидно, вероятность того, что за время t канал не освободится, равна 1-F_tобсл (t)=e^{- t}. Если в системе занято k каналов, то вероятность того, что ни один из них не освободится за время t, равна .

Время ожидания заявок в очереди ‑ t_ож (если очередь существует) обычно также задаётся экспоненциальным законом с дифференциальной функцией распределения (t>0), где параметр  - величина обратная среднему времени ожидания. Интегральная функция распределения есть вероятность того, что время ожидания не превысит t.