15. Дискретная случайная величина

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина  , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел  поставлено в соответствие некоторое положительное число  , причем

Числа  называются возможными значениями случайной величины  , а числа - вероятностями этих значений (  ).

16. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.  Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x_o-0)=limFΨ(x)=FΨ(x_o) при х→ x_o

Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x_k}=p_k, k=1,2,..n. Если x ≤ x₁, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x₁< x ≤ x₂ , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х₁.

17. Непрерывная случайна величина. Свойства плотности распределения

  1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

            2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

            Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

            Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

18. Математическое ожидание случайной величины.Свойства Свойства математического ожидания

            1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

            2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

            3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

            Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

            4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

        Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

        Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

            Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

            Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

            Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.