34. Точкові оцінки.

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції. Нехай  — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра . Тоді статистику , що набуває значення в , називають точковою оцінкою параметра θ.

Властивості точкових оцінок:1.Оцінка  називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру генеральної сукупності, що оцінюється: де  позначає математичне сподівання за припущення, що θ — істинне значення параметра (розподілу вибірки X).

2.Оцінка  називається ефективною, якщо вона має мінімальну дисперсію серед всіх можливих незміщених точкових оцінок.

3.Оцінка  називається конзистентною, якщо вона за ймовірністю зі збільшенням обсягу вибірки n прямує до параметра генеральної сукупності: ,

 за ймовірністю при .4.Оцінка  називається строго конзистентною, якщо ,

 майже напевне при .Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки наближається до оцінювального параметра θ, а саме: Точкові статистичні оцінки є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки. Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною..Різниця між статистичною оцінкою та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме: (04) де δ є точністю оцінки. Оскільки є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (04) справджуватиметься з певною ймовірністю. Імовірність, з якою береться нерівність (04), тобто , (05) називають надійністю. Рівність (05) можна записати так: . Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ ге­неральної сукупності з заданою надійністю , називають довірчим.

35. Перестановки, сполучення, комбінації : формули для обчислення.

Комбінаторика – розділ математики, в якому розв’язуються задачі вибору й розташування елементів множин за заданими правилами. До основних понять комбінаторики належать поняття розміщення, комбінації (сполуки) та перестановки.

Перестановками з n елементів називають групи по n елементів, які відрізняються між собою лише порядком розміщення елементів P_n=n!

Сполуками(комбінаціями) із n елментів по m елементів назив групи по m елементів, які відрізняються хоча б одним елементом ,

Розміщеннями із n елментів по m елементів назив групи по m елементів (m≤n), які відрізняються або порядком розміщення цих елементів, або хоча б одним елементом.

36. Інтервальні оцінки

Якщо обсяг вибірки малий, то точкова оцінка може суттєво відрізнятися від оцінюваного параметра. Тому зручніше користуватися інтервальними оцінками, тобто такими оцінками, які визначаються двома числами - кінцями інтервалу. Нехай за даними вибірки ми знайшли точкову оцінку параметра .

Довірчим (надійним) інтервалом для невідомого параметра назив інтервал (₁; ₂), яий містить параметр із заданою наперед імовірністю , яка назив довірчою імовірністю, надійністю, рівнем надійності. P(є (₁; ₂))=

Надійний інтервал як правило симетричний відносно незміщеної точкової оцінки параметра , тобто довірчий інтервал має вигляд є (+δ;- δ), отже Р(є (+δ;- δ)) = , де δ (дельта) – точність інтервальної оцінки невідомого параметра ; δ =- - відхилення точкового параметра

Зрозуміло, що буде тим точніше визначати параметр , чим меншою є величина . Тобто, для малого маємо.(1)

Оцінка буде тим точнішою,чим менше . Число δ характеризує точність оцінки. Проте на основі даних вибірки ми не можемо стверджувати однозначно, що оцінка задовольняє нерівність (1). Ми можемо лише говорити про те, що нерівність (1) здійснюється з деякою ймовірністю .

На практиці надійність оцінки звичайно задається наперед. Найчастіше задають . Тобто, якщо ми наперед вирішуємо нехтувати можливістю появи події з ймовірністю 0,01, то виберемо надійність ; тощо.