- •220701 – Менеджмент высоких технологий
- •Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования
- •Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей
- •Тема 3. Структуризация производственных систем как
- •Тема 4. Методы системного моделирования
- •Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем
- •Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации
- •Тема 7. Методы алгоритмического моделирования
- •Тема 8. Балансовые модели
- •Тема 9 Распределительные модели
- •4. Содержание разделов и тем дисцисплины
- •Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования
- •Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей
- •Тема 3. Структуризация производственных систем как основа
- •Тема 4. Методы системного моделирования
- •Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем
- •Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации
- •Тема 7. Методы алгоритмического моделирования
- •Тема 8. Балансовые модели
- •Тема 9. Распределительные модели
Минобрнауки России
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»
Кафедра исследования операций в экономике
имени профессора Ю.А.Львова
Н.Ю. Вилло
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Конспект лекций
Специальности: 080502 – Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
220701 – Менеджмент высоких технологий
Санкт-Петербург
2011
2
Допущено
редакционно-издательским советом СПбГИЭУ
в качестве методического издания
Составитель
ст. преп. Н.Ю. Вилло
Рецензент
канд. экон. наук, доц. В.Г. Поснов
Подготовлено на кафедре
Исследования операций в экономике имени проф. Ю.А.Львова
Одобрено научно-методическим советом СПбГИЭУ
Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,
представленного составителем
СПбГИЭУ, 2011
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................................................4
Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования ........................ 4
Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей ............ 13
Тема 3. Структуризация производственных систем как ............... 23
основа моделирования ...................................................................... 23
Тема 4. Методы системного моделирования .................................. 31
экономических задач ......................................................................... 31
Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем ................ 44
Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации ................................. 51
Тема 7. Методы алгоритмического моделирования ..................... 59
Тема 8. Балансовые модели .............................................................. 67
Тема 9 Распределительные модели ................................................. 72
Примеры тестовых заданий .............................................................. 85
Список литературы ............................................................................ 88
Терминологичекий словарь .............................................................. 89
ПРИЛОЖЕНИЕ 1:
Извлечение из рабочей программы дисциплины ........................... 91
4
ВВЕДЕНИЕ
"Методы и модели в экономике" — одна из фундаментальных
дисциплин, формирующих профессиональное мышление экономиста.
Вместе с тем эта дисциплина дает специалисту инструментарий для
практической работы, так как моделирование является неотъемлемым
элементом системы управления предприятия.
Целями преподавания дисциплины являются:
— раскрыть теорию, методологию и методику использования
экономико-математических методов;
— привить навыки синтеза и анализа экономико-математических
моделей;
— определить роль и место экономико-математических методов в
моделировании производственной деятельности;
— научить анализировать конкретные социально-
экономические структуры, формулировать экономические
проблемы и выбирать соответствующий класс модели.
Конспект лекций построен в соответствии с рабочей про-
граммой и содержит девять тем. На каждую тему отводится два
часа аудиторных занятий, кроме темы 8 и 9, где рабочей програм-
мой предусмотрено по 1 часу.
Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования
Цель: показать роль количественных методов в теоретической
экономике и хозяйственной практике. Показать концептуальных
модели в исследовании экономических закономерностей.
Первоначально математические методы или исследование
операций были определены как научный метод, дающий в распо-
ряжение руководителя количественные основания для принятия
решений, связанных с деятельностью подчиненных организаций.
Подчеркивалось, что речь идет о прикладной науке, применяющей
достижения других фундаментальных наук для анализа специфи-
ческих проблем совершенствования руководства
Математические методы в экономике – научная дисциплина,
занимающаяся разработкой и практическим применением методов
наиболее эффективного управления различными организацион-
ными системами.
5
При решении конкретной задачи управления применение ма-
тематических методов предполагает:
· изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии
принятие решений, и установление критериев эффективно-
сти, позволяющих оценить преимущество того или иного
варианта действия;
· построение экономических и математических моделей
для задач принятия решения в сложных ситуациях или в ус-
ловиях неопределенности и их использование в качестве
инструмента управления.
Примерами применения математического моделирования мо-
гут служить следующие задачи.
Задача № 1. Для обеспечения высокого качества выпускае-
мых изделий на заводе организуется система выборочного контро-
ля. Требуется выбрать такие формы его организации – например,
назначить размеры контрольных партий, указать последователь-
ность контрольных операций, определить правила отбраковки, -
чтобы обеспечить необходимое качество при минимальных расхо-
дах.
Задача № 2. Для реализации определенной партии сезонных
товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется вы-
брать параметры сети – число точек, их размещение, количество
персонала – так, чтобы обеспечить максимальную экономическую
эффективность распродажи.
Задача № 3. К заданному сроку необходимо провести массо-
вое медицинское обследование группы населения с целью выявле-
ния определенных заболеваний. На обследование выделены мате-
риальные средства, оборудование, персонал. Требуется разрабо-
тать такой план обследования – установить число медпунктов, их
размещение, вид и количество анализов, чтобы выявить как можно
больший процент из числа заболевших.
Приведенные задачи относятся к разным областям практики,
но в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то
управляемом мероприятии (операции), преследующем определен-
ную цель. В каждой задаче заданы некоторые условия проведения
этого мероприятия, в рамках которых следует принять решение –
такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. Усло-
виями проведения операции в каждой задаче оказываются средст-
6
ва, которыми мы располагаем, время, оборудование, технологии, а
решение в задаче № 1 заключается в выборе формы контроля –
размера контрольных партий, правил отбраковки; в задаче № 2 – в
выборе числа точек размещения, количества персонала; в задаче
№ 3 – в выборе числа медпунктов, вида и количества анализов.
Понятие _______модели знакомо каждому: например: игрушечный
автомобиль, географическая карта. И, наверное, новым для многих
является то, что знакомая со школьных лет формула длины пути
s = vt - математическая модель.
Чтобы построить математическую модель, необходимо оце-
нить количественные проявления рассматриваемых факторов и
указать группы изменяемых параметров, формально представ-
ляющих эти факторы. Однако, следует иметь ввиду, что никаких
правил построения математических моделей не существует. Каж-
дая модель есть проявление знаний, опыта, искусства. Процесс
создания модели требует четкого осознания цели, проникновения
в существо моделируемых явлений, умения отделить главное, от
второстепенного. Математические модели могут иметь вид фор-
мул, систем уравнений или неравенств, а также таблиц, числовых
последовательностей, геометрических образов, отражающих зави-
симости между критерием эффективности операции и теми пара-
метрами, которые представляют учтенные действующие факторы.
Решением, связанным с выбранной математической мо-
делью, называется конкретный набор значений управляемых (кон-
тролируемых) параметров. Решение можно получить различным
путем, с различной степенью точности, в различных предположе-
ниях свойств неуправляемых (неконтролируемых) параметров, но
независимо от этого оно должно рассматриваться лишь как вспо-
могательный материал, нуждающийся в осмыслении и сопостав-
лениях. Ни одна формальная модель не может дать исчерпываю-
щих сведений о развитии реальных событий из-за практически
всегда присутствующих неконтролируемых факторов. Но полу-
ченные с помощью модели решения позволяют ориентироваться в
окружающей среде, вносить полезные уточнения в деятельность,
совершенствовать модель, анализировать различные стратегии,
выявлять второстепенные факторы планируемого мероприятия.
Субъектом, проводящим модельное исследование (иссле-
дователь) может быть назван специалист или группа специали-
7
стов, осуществляющих разработку стратегий, математических мо-
делей, использующих различные критерии и понятия оптимально-
го выбора, методов исследования моделей в интересах сравнения
конкурирующих стратегий и отыскания среди них оптимальных.
Роль исследователя ограничивается подготовкой рекомендаций,
вытекающих из изучаемой модели. Право окончательного выбора
ему не принадлежит, так как оно предоставляется менеджеру, от-
вечающему за проведение операции имеющему обычно дополни-
тельные соображения относительно допустимых (предпочтитель-
ных) стратегий, не говоря уже о том, что он имеет в своем распо-
ряжении ресурсы и наделен соответствующими полномочиями.
Таким образом, необходимо различать формальные решения, по-
лучаемые исследователем операций, и принципиальные (ответст-
венные) решения, принимаемые менеджерами. Желательно, чтобы
формальные решения были, как можно более полно отражены в
принципиальных решениях.
В создание современного математического аппарата и разви-
тие многих направлений исследования операций большой вклад
внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С.
Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие дру-
гие. Особо следует отметить роль академика Л. В. Канторовича,
который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов
фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке
оборудования, о раскрое материалов с наименьшими потерями, о
распределении грузов по нескольким видам транспорта и др.
Л. В. Канторович сформулировал новый класс условно-
экстремальных задач и предложил универсальный метод их реше-
ния, положив начало новому направлению прикладной математи-
ки – линейному программированию.
Значительный вклад в формирование и развитие исследова-
ния операций внесли зарубежные ученый Р. Акоф, Р. Беллман, Г.
Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и
др.
Методы исследования операций, как и любые математиче-
ские методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют за-
дачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями,
стохастические системы детерминированными, динамические
процессы – статическими моделями и т.д.
8
Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преуве-
личивать значение методов исследования операций, ни преумень-
шать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Особенно
тщательно надо относится к формированию модели и выбору ме-
тода решения. Первый аспект тесно связан с адекватным описани-
ем моделируемого процесса, а во втором случае речь идет о гра-
ницах применения того или иного метода, так как каждый метод
имеет свои границы применения.
Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное
определение исследования операций, сделанное одним из его соз-
дателей Т. Саати, как “искусства давать плохие советы на те прак-
тические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими
методами”.
Основные этапы и приемы моделирования
Для применения количественных методов исследования тре-
буется построить математическую модель. При построении моде-
ли исходный объект, как правило, упрощается, схематизируется и
описывается с помощью того или иного математического аппарата
(различного рода функций, уравнений, систем уравнений и нера-
венств и т.п.). Составление модели требует понимания сущности
описываемого явления и знания математического аппарата.
Экономико-математическая модель – математическое описа-
ние исследуемого экономического процесса или объекта. Эта мо-
дель выражает закономерности экономического процесса в абст-
рактном виде с помощью математических соотношений. Исполь-
зование математического моделирования в экономике позволяет
углубить количественный экономический анализ, расширить об-
ласть экономической информации, интенсифицировать экономи-
ческие расчеты, принимать более обоснованные экономические
решения.
Условно можно выделить четыре основных этапа проведения
экономико-математического моделирования:
1. Построение модели. На этом этапе, ставятся цели и задачи
исследования, проводится качественное описание объекта в виде
экономической модели;
2. Модельный эксперимент. Здесь формируется математическая
модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработ-
ка) методов исследования, проводится программирование модели
9
на компьютере, подготавливается исходная информация. Далее
проверяется пригодность полученной модели на основании пра-
вильности получаемых результатов и оценка их устойчивости,
проведение расчетов, обработка и анализ полученных результатов.
3. Интерпретация результатов модельного эксперимента, осу-
ществляется перенос знаний о модели на знание об объекте.
4. Принятие управленческого решения, то есть воздействие на
объект исследования. По результатам анализа последствий приня-
того решения, происходит уточнение выбранной математической
модели.
Создавая математическую модель, исследователь стремиться
достичь относительной простоты результата и возможности его
всестороннего анализа, но, вместе с тем, учесть все существенные
факторы и детали.
Все факторы, входящие в описание операции, можно разде-
лить на две группы:
· постоянные факторы (условия проведения операции), на
которые нельзя оказать влияние. Обозначим их через
, ,K 1 2 a a ;
· зависимые факторы (элементы решения) , ,K 1 2 x x , кото-
рые в известных пределах можно выбирать по своему ус-
мотрению.
Например, в задаче об использовании ресурсов к постоянным
факторам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, произ-
водственную матрицу, элементы которой определяют расход сы-
рья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого
вида. Элементы решения – план выпуска продукции каждого вида.
Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией,
называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому
целевую функцию Z можно записать в виде
( , , , , , ) 1 2 1 2
Z = f x x Ka a L .
Все модели исследования операций могут быть классифици-
рованы в зависимости от природы и свойств операции, характера
решаемых задач, особенностей применяемых методов.
Следует отметить, прежде всего, большой класс оптимизаци-
онных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизи-
ровать планирование и управление сложными системами, в пер-
вую очередь экономическими системами. Оптимизационную зада-
10
чу можно сформулировать в общем виде: найти такие значения
переменных x , x , , xn 1 2
K , удовлетворяющие системе неравенств
(уравнений)
x x x b i m i n i ( , , , ) , 1,2, , 1 2
j K £ = K , (1)
которые обращают в максимум (или минимум) целевую
функцию
( , , , , , ) max(min) 1 2 1 2 Z = f x x Ka a L ® .
Условия неотрицательности переменных, если они есть, вхо-
дят в ограничения (1)
Как известно, упорядоченная совокупность значений n пере-
менных n x , x , , x 1 2
K представляется точкой n - мерного простран-
ства. В дальнейшем эту точку будем обозначать ( , , , ) 1 2 n X = x x K x ,
а само оптимальное решение ( , * , , * )
2
*
1
*
n X = x x K x .
Рассмотрим еще одну, характерную для исследования опера-
ций задачу – классическую задачу потребления, имеющую важное
значение в экономическом анализе.
Пусть имеется n видов товаров и услуг, количества которых
(в натуральных единицах) n x , x , , x 1 2
K по ценам соответственно
n p , p , , p 1 2
K за единицу. Суммарная стоимость этих товаров и ус-
луг составляет Σ
=
n
i
i i p x
1
.
Уровень потребления Z может быть выражен некоторой
функцией ( , , ) 1 2 n Z = f x x Lx , называемой функцией полезности. Необ-
ходимо найти такой набор товаров и услуг n x , x , , x 1 2
K при данной
величине доходов I , чтобы обеспечить максимальный уровень по-
требления, т.е.
( , , ) max 1 2 = ® n Z f x x Lx
при условии
p x I
n
i
i i £ Σ
=1
³ 0 i x (i = 1,2,K,n ).
Решения этой задачи, зависящие от цен n p , p , , p 1 2
K и вели-
чины дохода I , называются функцией спроса.
В тех случаях, когда функции i f j , хотя бы дважды диффе-
ренцируемы, можно применять классические методы оптимиза-
11
ции. Однако применение этих методов весьма ограничено, так как
задача определения условного экстремума функции n переменных
технически весьма трудна: метод дает возможность определить
локальный экстремум, а из-за многомерности функции определе-
ние ее максимального (или минимального) значения (глобального
экстремума) может оказаться весьма трудоемким – тем более, что
этот экстремум возможен на границе области решений. Классиче-
ские методы вовсе не работают, если множество допустимых зна-
чений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В
этих случаях для решения задачи применяются методы математи-
ческого программирования.
Классификация методов математического программирования
Если критерий эффективности ( , , ) 1 2 n Z = f x x Lx представля-
ет линейную функцию, а функции ( , , , ) i 1 2 n j x x K x в системе огра-
ничений также линейны, то такая задача является задачей линейно-
го программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее
решения должны быть целыми числами, то эта задача целочислен-
ного линейного программирования. Если критерий эффективности
и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями,
то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если
указанные функции обладают свойством выпуклости, то получен-
ная задача является задачей выпуклого программирования.
Если в задаче математического программирования имеется
переменная времени и критерий эффективности выражается не в
явном виде как функция переменных, а косвенно – через уравне-
ния, описывающие протекание операций во времени, то такая за-
дача является задачей динамического программирования.
Если критерий эффективности и система ограничений зада-
ются функциями вида n
n cxa xa xa 1 2K
1 2 , , то имеем задачу геометриче-
ского программирования. Если функции i f j , зависят от парамет-
ров, то получаем задачу параметрического программирования. А,
если эти функции носят случайный характер, - задачу стохасти-
ческого программирования. Если точный оптимум найти алгорит-
мическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа ва-
риантов решения, то прибегают к методам эвристического про-
граммирования, позволяющим существенно сократить просматри-
12
ваемое число вариантов и найти, если не оптимальное, то доста-
точно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, ре-
шение.
Из перечисленных методов математического программиро-
вания наиболее распространенным и разработанным является ли-
нейное программирование. В его рамки укладывается широкий
круг задач исследования операций.
По своей содержательной постановке множество других ти-
пичных задач исследования операций может быть разбито на ряд
классов.
Задачи сетевого планирования и управления рассматривают
соотношения между сроками окончания крупного комплекса опе-
раций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти
задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей
комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимо-
сти и сроков их выполнения.
Задачи массового обслуживания посвящены изучению и ана-
лизу систем массового обслуживания с очередями заявок или тре-
бований и состоят в определении показателей эффективности ра-
боты систем, их оптимальных характеристик, например, в опреде-
лении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.
Задачи управления запасами состоят в отыскании оптималь-
ных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Осо-
бенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня
запасов с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение,
но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного
дефицита запасаемого продукта.
Задачи распределения ресурсов возникают при определенном
наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ог-
раниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные
распределения ресурсов между операциями или состав операций.
Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с
износом и старением оборудования и необходимостью его замены
с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных
сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также
моментов замены оборудования модернизированным.
Задачи составления расписания (календарного планирова-
ния) состоят в определении оптимальной очередности выполнения
13
операций (например, обработки деталей) на различных видах обо-
рудования.
Задачи планировки и размещения состоят в определении оп-
тимального числа и места размещения новых объектов с учетом их
взаимодействия с существующими объектами и между собой.
Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего
встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте
и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных
маршрутов.
Среди моделей исследования операций особо выделяются
модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуаци-
ях, называемые теорией игр. Конфликтным ситуациям, в которых
сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих
разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики,
права, военного дела и т.п. В задачах теории игр необходимо вы-
работать рекомендации по разумному поведению участников кон-
фликта, определить их оптимальные стратегии.
На практике в большинстве случаев успех операции оценива-
ется не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из ко-
торых следует максимизировать, другие – минимизировать. Мате-
матический аппарат может принести пользу и в случаях многокри-
териальных задач исследования операции, по крайней мере, по-
мочь отбросить заведомо неудачные варианты решений.
Контрольные вопросы
1. Назовите типы экономико-математических моделей.
2. Поясните понятие абстракции в экономико-математи-
ческом моделировании.
3. Дайте определение понятия ЭММ
4. Приведите пример классификации моделей.