8. Векторно-матричная запись слау

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Запись в матричном виде AX = B.

Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицой. (А/b)

9. Решение слау по пр. Крамера. Совсместные и несовместные системы.

— способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

i-столбец заменяется столбцом свободных членов.

-Если det=0, а det i не равен 0, то сист. не имеет решений.

-Если det=0, det i =0, то сист. либо не имеет решеений,либо бесконечно много.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

10. Решение слау с помощью обратной матрицы.

-Нахождение det (не равн 0)

-А транспонир. (строки замен столб)

-А союзн.

- А^-1 = (1/detA )*А союз

11. Решение слау методом исключения неизвестных. Метод Жордана-Гауса

используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Алгоритм

1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.

4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.

5. Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры n − 1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

12. Ранг матрицы. Способы определения ранга.

-- наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы

ранг матрицы не изменяется: a) при перестановке двух строк; б) при умножении одной строки на число отличное от нуля; в) при прибавлении (вычитании) некоторой строки умноженной на любое число к другой строке; г) при транспонировании

Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы : - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.

Существует несколько способов найти (вычислить, определить, подсчитать) ранг матрицы. Один из них - преобразование матрицы методом Гаусса и подсчёт числа ненулевых строк. Так вот, ранг и будет равен этому числу ненулевых строк.