Контрольные варианты к задаче 16

Вычислить пределы числовых последовательностей:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 17

Если при и , то разность представляет собой неопределенность . Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к виду или .

Пример 17

Вычислить предел .

Умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда

Здесь старшая степень - первая, поэтому

Контрольные варианты к задаче 17

Вычислить пределы функции:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 18

Две бесконечно малые функции при или называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде ~ .

Таким образом, если , то ~ .

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

~ .

~ .

~

~ .

~ .

~ .

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если ~ и ~, то

Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неопределенность

Пример 18

Вычислить предел

Пример 19

Вычислить предел

Пример 20

Вычислить предел

Контрольные варианты к задаче 18

Вычислить пределы функций:

.	.
	.
.	.
.	.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
.	.
	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 19

Пример 21

Вычислить предел

Контрольные варианты к задаче 19

Вычислить пределы функций:

	.
.	.
	.
.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 20

Пусть нужно найти . Если при этом при и , то имеем неопределенность ; если , то имеем неопределенность ; , то имеем неопределенность . Эти неопределенности раскрываются с помощью второго замечательного предела.

1. или 2.

Пример 22

Вычислить предел .

Здесь , поэтому получим неопределенность

вида . Используем первую форму второго замечательного предела. Для этого преобразуем основание к виду следующим образом:

.

Тогда

,

т. к. , а предел основания равен е.