4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

Рассмотрим сложную функцию , где . Считаем, что функция определена на промежутке , а функция определена на промежутке X и такая, что , если . Пусть функция имеет конечную производную на промежутке а функция имеет конечную производную на промежутке Y.

Так как есть функция независимой переменной , определенная на промежутке X, то, по определению дифференциала, имеем

. (*)

Но по правилу дифференцирования сложной функции

Подставляя это выражение для в соотношение (*), получим

.

Так как (по определению дифференциала), то будем иметь

. (**)

Сравнивая соотношения (*) и (**), замечаем, что дифференциал сложной функции через промежуточную переменную выражается в той же форме, как и через независимую переменную . В этом и состоит инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала.

Следует, однако, помнить, что в случае, когда — независимая переменная, то (т. е. есть произвольное приращение), а в случае, когда — функция, то есть дифференциал этой функции, т. е. величина, вообще говоря, не совпадающая с ее приращением (, вообще говоря).

§ 5. Производные высших порядков

1. Пусть функция определена в некотором промежутке X и в каждой точке х этого промежутка имеет конечную производную . Тогда сама является функцией от х на промежутке X. Поэтому можно поставить вопрос о нахождении производной от этой новой функции. Если существует производная от , то ее называют второй производной (или производной второго порядка) от заданной функции и обозначают одним из символов

.

Может оказаться, что и вторая производная имеет производную в промежутке X. Тогда производную от называют третьей производной (или производной третьего порядка) от заданной функции и обозначают одним из символов

.

Аналогично вводятся четвертая, пятая и т. д. производные от функции . Для обозначения производной n-го порядка употребляются символы

.

Замечание. Чтобы имело смысл говорить о конечном или бес­конечном значении в точке , нужно, чтобы как функция от х была определена и конечна в некоторой окрестности точки . Таким образом, когда говорят, что в точке имеется конечная или бесконечная n-я производная функции , то тем самым подразумевается существование конечной производной (n-1)-го порядка этой функции в некоторой окрестности точки .

Чтобы найти производную n-го порядка от данной функции , нужно предварительно вычислить, вообще говоря, последовательно производные всех предшествующих порядков. Однако есть случаи, когда можно получить общую формулу для производной n-го порядка функции , которая не содержит обозначений производных этой функции предшествующих порядков.

Пример 1. Пусть . Имеем

.

Допустим, что

. (*)

Тогда

Видим, что переход от к сделан. Для (считаем ) формула (*) установлена непосредственно. В силу перехода к формула (*) будет верна для , т. е. для любого .

Таким образом,

Пример 2. Пусть . Имеем

.

Допустим, что

. (*)

Тогда

.

Видим, что переход от к сделан. Для формула (*) установлена непосредственно. В силу перехода от к формула (*) будет верна для , т. е. для любого .

Итак,

.

Теорема. Пусть функции и в некотором промежутке X имеют конечные производные всех порядков до включительно. Тогда функция также имеет производные всех порядков до включительно. Причем .

► Имеем (это известно),

.

Допустим, что

. (*)

Тогда

Видим, что переход от к сделан. Для формула (*) установлена непосредственно. В силу перехода от к формула (*) будет верна для .

Итак,

. ◄