1. Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков. Формулы Френеля

Рассмотрим вопрос о распространении света сквозь границу двух сред в рамках Э – М теории света.

Пусть на границу раздела двух изотропных однородных диэлектриков падает плоская электромагнитная волна. Как показывает опыт, от границы раздела диэлектриков будут распространяться две плоские волны – отраженная и преломленная.

Граничные условия – в любой момент времени и в любой точке границы раздела выполняются следующие соотношения для тангенциальных компонент векторов напряженности электрического и магнитного полей:

E_t1 = E_t2 ; H_t1 = H_t2,

Где t – обозначает тангенциальные компоненты векторов E и H, т.е. проекции векторов E и H на границу раздела между средами.

В первой среде результирующее значение напряженности поля вблизи границы раздела определяется суммой полей падающей и отраженной волн, а внутри второй среды – лишь полем проходящей волны. Падающая волна может быть поляризована любым образом.

Из уравнений М для плоских волн получается

,

которое в оптической части спектра для прозрачных диэлектриков можно записать в виде

т.к. μ ≈ 1

Векторы Е, Н и единичный вектор s, определяющий направление распространения волны, взаимно перпендикулярны и составляют правовинтовую систему.

Запишем выражения для падающей, отраженной и преломленной волн:

E_iexp[i(ωt+k_irs_i)], k_i=ω_i/v_i=ω_in₁/c;

E_rexp[i(ωt+k_rrs_r)], k_r=ω_r/v_r=ω_rn₁/c; (24)

E_dexp[i(ωt+k_drs_d)], k_d=ω_d/v_d=ω_dn₂/c;

r – радиус-вектор, ω_j, v_j –частоты и скорости волн (j=i, r, d), E_j – амплитуды волн, n₁, n₂ – показатели преломления сред, s_j – единичные векторы.

Т.к. условие s_jr = const определяет плоскость, перпендикулярную к s_j , то выражения (24) описывают плоские волны, распространяющиеся вдоль векторов

s_j = s_i, s_r, s_d.

Если ввести выражения (24) в граничные условия для электрического вектора, то они принимают вид

E_itexp[i(ωt+k_is_ir)] + E_rtexp[i(ωt+k_rs_rr)] =

E_dtexp[i(ωt+k_ds_dr).,

Для выполнения этого равенства в любой момент времени в любой точке границы раздела необходимо и достаточно, чтобы во всех показателях экспонент были одинаковы коэффициенты при t и при проекции r_t радиус - вектора r на границу раздела, т.е. чтобы выполнялись равенства

ω_i = ω_r = ω_d; (25)

k_is_it = k_rs_rt = k_ds_dt (26)

В рамках молекулярных представлений частоты колебаний зарядов, вынуждаемых электрическим вектором световой волны, совпадают с частотой вынуждающей силы. Т.е. индексы при ω можно опустить.

Из (26) следует, что единичные векторы s_i, s_r и s_d.находятся в одной плоскости, проходящей через нормаль к плоскости раздела и s_i (плоскость падения).

Пусть плоскость xOy совпадает с плоскостью раздела сред, а плоскость zOx – с плоскостью падения, причем ось Oz направлена из среды 1 в среду 2. Углы между s_i, s_d и осью z обозначим φ, ψ (углы падения и преломления), а угол между Oz и s_r обозначим π-φ’ (φ’ – угол отражения).

Рис.28.

В указанной системе координат y –компоненты векторов s_jt равны 0, а их х-компоненты можно выразить через углы φ, φ’,ψ следующим образом:

s_ix=sinφ, s_rx=sinφ^’ s_dx=sinψ

Таким образом, равенствам (14) можно придать вид

(27)

Первое равенство означает, что φ = φ^’ и мы приходим к закону отражения.

Для преломленной волны , что совпадает с законом преломления.

Целесообразно раздельно рассматривать два случая, когда электрический вектор либо лежит в плоскости падения, либо перпендикулярен к ней.

Разложим амплитуды E_i, E_r, E_d на компоненты E_║ и E_┴ , лежащие соответственно в плоскости падения и перпендикулярные к ней:

E_j= E_j║+ E_j┴; j = i, r, d

Результаты вычисления E_j║ и E_j┴ позволяют решить задачу об отражении и преломлении света произвольной поляризации. Взаимные ориентации векторов s_j, E_j║, E_j┴ и соответствующих им напряженностей H_j║+ H_j┴ магнитного поля приведены на рис. 28.

Если компоненты электрического вектора E_j║ лежат в плоскости падения, то граничные условия принимают вид

E_i║cosφ+ E_r║cosφ= E_d║cosψ; n₁E_i║- n₁E_r║ = n₂E_d║ (28)

Решая эту систему уравнений и используя закон преломления, найдем

(29)

(30)

Величины r_║ и t_║ носят названия амплитудных коэффициентов отражения и пропускания для волны линейно-поляризованной в плоскости падения.

Для компонент напряженности электрического вектора, перпендикулярных к плоскости падения, граничные условия принимают вид

E_i┴+E_r┴=E_d┴; n₁(E_i┴-E_r┴)cosφ=n₂E_d┴cosψ

И амплитудные коэффициенты отражения и пропускания r_┴ , t_┴ дают выражения

(31)

(32)

Соотношения (29) – (32) между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн называются формулами Френеля.

Аналогичные соотношения выводятся для магнитных векторов.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 8

Вопросы

1. Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков. Формулы Френеля

2. Поляризация света при прохождении через границу двух диэлектриков. Наглядная интерпретация закона Брюстера

Рис.29