5. Стационарные случайные процессы.

Случайный процесс (t) называется стационарным в узком смысле или стационарным в строгом смысле, если его плотность распределения вероятностей (x₁...x_n;t₁...t_n) произвольного порядка n не меняется при любом сдвиге всей группы точек t₁...t_n вдоль оси времени, т.е. при любых n и t₀ справедливо равенство:

(x₁...x_n; t₁...t_n) = (x₁...x_n; t₁- t₀...t_n-t₀)

Это означает, что два процесса (t) и (t-t₀) имеют одинаковые вероятностные характеристики при любом значении t₀, т.е. вероятностные характеристики не зависят от начала отсчета времени. Если вероятностные характеристики случайного процесса не инвариантны по отношению к произвольному смещению начала отсчета времени, то процесс называется нестационарным в узком смысле.

Из приведенного определения следует, что для стационарного случайного процесса:

а) одномерный закон распределения имеет один и тот же вид для всех значений t.

(x;t) = (x; t-t₀) = (x).

б) двумерный закон распределения может зависеть только от разности t₂-t₁:

(x₁,x₂; t₁,t₂) = (x₁,x₂; t₂ -t₁).

Так как одномерные законы распределения стационарных процессов не зависят от времени, то моменты этих процессов, в частности среднее и дисперсия, также не зависят от времени, т.е. являются постоянными величинами.

Поскольку двумерный закон распределения (x₁,x₂; t₂ -t₁) стационарного случайного процесса зависит только от разности =t₂ -t₁, то и корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной :

K()=x₁x₂(x₁,x₂;)dx₁dx₂

Для решения прикладных задач корреляционная функция является достаточно полной характеристикой случайного процесса.

Раздел теории, в котором используется только среднее, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса называется корреляционной теорией. Поскольку в корреляционной теории не используются многомерные законы распределения, то в рамках этой теории стационарными можно считать случайные процессы, у которых среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности =t₂ -t₁. Случайные процессы, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными в широком смысле.

Корреляционная функция K() стационарного случайного процесса удовлетворяет следующим свойствам.

• При =0 она достигает максимального значения, равного дисперсии случайного процесса:

R(0)  | K() |

Это неравенство следует из следующего неравенства:

M[((t)(t-))² ]=2( K(0)K() )  0

Поскольку корреляционная функция R(t₁,t₂) любого случайного процесса обладает свойствами симметрии:

R(t₁,t₂)=R(t₂,t₁)

то для стационарного случайного процесса имеем:

R()=R(t₂-t₁) = R(t₁,t₂) = R(-)

т.е. корреляционная функция K() является четной функцией своего аргумента. Некоторые дополнительные свойства корреляционной функции будут установлены при изложении соответствующих разделов курса.