- •1 Период, линейная и циклическая (круговая) частота колебаний.
- •2 Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний. Гармонический осциллятор.
- •9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
- •10. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний.
- •19. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний осциллятора и его решение.
- •20. Резонанс. Резонансная кривая. Полоса пропускания.
9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем
где — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде
и заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:
Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз .
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.
10. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний.
затухающие колебания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде
Решение уравнения рассмотрим в виде
где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения и подстановки их получим
Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
(если ()>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа ü+2и=0, решением которого является функция и=А0cos(t+) (см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения в случае малых затуханий ()
где
11. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний осциллятора и его решение.
где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, =const — коэффициент затухания, 0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
12. Циклическая (круговая) частота и период затухающих колебаний.
период затухающих колебаний
Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении с:
. + амега в квадрате = амега нулевое в квад + бета в квад
13. Апериодический процесс.
Апериодический Процесс-переходный процесс в динамич. системе, при к-ром выходная величина, характеризующая переход системы от одного состояния к другому, либо монотонно стремится к установившемуся значению, либо имеет один экстремум (см. рис.). Теоретически может длиться бесконечно большое время. А. п. имеют место, напр., в системах автоматич. управления.
14. Закон изменения амплитуды затухающих колебаний.
— амплитуда затухающих колебаний,
а А0 — начальная амплитуда. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
15. Коэффициент затухания.
КОЭФФИЦИЕНТ ЗАТУХАНИЯ-количественная характеристика сопротивления колеблющейся системы колебательному движению.
16. Логарифмический декремент затухания и его связь с коэффициентом затухания.
Логарифмический декремент затухания - величина, показывающая скорость затухания собственных колебаний
логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний.
Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
17. Изменение энергии осциллятора при затухающих колебаниях. Добротность осциллятора.
Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.
добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
18. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
Решение уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме . Заменим правую часть уравнения) на комплексную величину х0
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
Подставляя выражение для s и его производных в уравнение
получаем
Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что =. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на
Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:
где
Следовательно, решение уравнения в комплексной форме примет вид
Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения , равна
где А и задаются, таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
Решение уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения
– собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы.
-амплитуда