Приложение производной к исследованию функций.

Дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на промежутке ] a, b [, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция y = f(x) убывает на промежутке ] a, b [, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция y = f(x) имеет максимум в точке x = x₁ (рис. 1), если для всех значений х, достаточно близких к х₁, выполняется неравенство f(х) < f(х₁); x = x₁ - точка максимума; y_max = f(х₁) - максимум функции.

Функция y = f(x) имеет минимум в точке х = x₂ (рис. 1), если для всех значений х, достаточно близких к x₂ , выполняется неравенство f(x) > f(х₂); х = x₂ - точка минимума; y_min = f(x₂) - минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими точками I рода.

y

y = f(x)

f(x₁)

f(x₂)

0 x₁ x₂ x

рис. 1

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х₀ производная функции у = f(х) меняет знак, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х₀ - точка максимума, a y_max = f(x₀). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х₀ - точка минимума, a y_min = f(x₀).

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х₀ первая производная функции у = f(х) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна (f’’(x₀) > 0), то х = х₀ - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f"(x₀) < 0), то х = х₀ - точка максимума.

Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на промежутке ] а, b [ кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 2).

y Говорят, что кривая на промежутке ] b, с [ обращена

выпуклая выпуклостью вниз или вогнута (), если она лежит выше

y = f(x) касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 2).

Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой,

А называется точкой перегиба кривой (рис. 2).

График дифференцируемой функции у = f(x) является

выпуклым на промежутке ] а; b [ если вторая производная

вогнутая функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.

a b c x График дифференцируемой функции у = f(x) является

рис. 2 вогнутым на промежутке ] b; с [, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками II рода.

Если при переходе через критическую точку II рода х = x₀ вторая производная функция меняет знак, то х = х₀ - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению функции в точке х₀, т. е. у_{т п} = f(x₀); А(х₀; f(x₀)) - точка перегиба графика функции у =f(х).

Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

4. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

5. Для уточнения графика функции рекомендуется найти несколько дополнительных точек из уравнения функции.

Пример. Построить график функции у = х³ - 6x² + 9x - 3.

1. Функция определена на всей числовой прямой, т. е. D(y) = R.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = 0, получим y = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: у' = 3х² - 12х + 9. Да­лее, имеем (Зх² - 12х + 9 = 0) <=> (х² - 4х + 3 = 0) <=> Точки х=1 и х = 3 делят область оп­ределения функции на три промежутка: - ∞ ,1 [,

y (1;1) ] 1,3 [ и ] 3, + ∞ [ В промежутках ] - ∞, 1 [и] 3, + ∞ [ у' > 0, т е.

функция возрастает, а в промежутке ] 1, 3 [ y'< 0 т. е. функция

убывает.

0 x При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с

плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 - с минуса на

(2;1) плюс. Значит, y_max = y(1) =1, y_min = y(3) = -3

6. Найдем вторую производную: у" = 6х - 12; 6x - 12 = 0, x =

(0;-3) (3;-3) = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два

промежутка ] - ∞, 2[ и ]2, + ∞[. В первом из них у" < 0, а во втором у" > 0, т. е. в промежутке ] - ∞, 2[ кривая выпукла

рис. 3 вверх, а в промежутке ]2, + ∞[ выпукла вниз.

Таким образом, получаем точку перегиба (2; -1).

7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 3).