4. Линейный изоморфизм линейных пространств.

Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Предположим, что между всеми элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие (, ), при котором для всех элементов выполнены свойства:

если (), то ( для любого );

если (), то ().

В этом случае пространства и называются изоморфными, а указанное соответствие называется линейным изоморфизмом. Хотя элементы изоморфных пространств и могут быть совершенно разной природы, с точки зрения теории линейных пространств такие и устроены одинаково.

Пример. Если – линейное пространство над полем , и , то изоморфно .

Теорема 6. Пусть и – линейно изоморфные конечномерные линейные пространства. Тогда при изоморфном соответствии всякой линейно независимой системе элементов соответствует линейно независимая система элементов ; в частности, всякому базису соответствует базис ; .

( Докажите самостоятельно.)

Теорема 7. Пусть и – произвольные линейные пространства над одним и тем же полем . Если , то и линейно изоморфны.

Доказательство следует из того, что оба пространства и изоморфны пространству , где .

5. Замена базиса.

В - мерном линейном пространстве построим два базиса и . Разложим каждый элемент базиса по базису :

(3)

В равенствах (3) все . Введем матрицу

и будем по-прежнему перечислять элементы базисов в строке; тогда (3) можно записать, используя обозначения темы 1, в виде . Или еще короче: (здесь и – строки элементов пространства , а – матрица чисел из ). Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису . Столбец матрицы с номером образован координатами элемента в исходном базисе (см. (3)). Поскольку элементы базиса линейно независимы, матрица не вырождена. С другой стороны, если – произвольная невырожденная матрица, то элементы строки , где – линейно независимые элементы, тоже линейно независимы. Число этих элементов равно размерности пространства , поэтому образует базис в . Любая невырожденная -матрица может рассматриваться как матрица перехода от одного базиса к другому.

Пусть – произвольный элемент пространства . Разложим его по базису и по базису :

, т.е. , (4)

, т.е. . (5)

(Обратите внимание на то, что координаты и элемента в (4) и (5) мы записали в виде векторов-столбцов.) Для всех подставим теперь из (3) в равенство (5):

. (6)

В силу единственности разложения по базису получаем из (4) и (6) для всех . Это значит, что . То же самое можно написать в виде .

6. Подпространства, их сумма и пересечение.

В линейном пространстве удобно выделить некоторые специальные множества его элементов. Если множество линейного пространства вместе с любой парой своих элементов содержит все их линейные комбинации , то называется подпространством пространства . Например, все пространство можно рассматривать как «наиболее широкое» подпространство, а состоящее из единственного нулевого элемента подпространство – как «наиболее узкое». Очевидно, что всякое подпространство само является линейным пространством. Если конечномерно, то и любое его подпространство конечномерно, причем . Но если бесконечномерно, то оно может содержать как конечномерные, так и бесконечномерные подпространства.

В конечномерном подпространстве размерности можно выбрать какой-нибудь базис этого линейного пространства : . Тогда – линейная оболочка выбранных элементов. С другой стороны, любая линейная оболочка является некоторым подпространством. Отсюда видно, что если , то в можно построить подпространства любых размерностей ; только нулевое подпространство имеет размерность 0, только является подпространством размерности .

Задача. В примерах 1–11 найдите какие-нибудь нетривиальные (отличные от всего и от нулевого подпространства) подпространства заданных пространств . Если , то найдите бесконечномерные подпространства. Для конечномерных пространств укажите какие-нибудь их базисы; постройте подпространства всех возможных размерностей.

Пусть и – подпространства линейного пространства . С помощью и образуем новые множества в .

Определение. Суммой подпространств и называется множество всех элементов пространства вида , где , . Пересечением называется множество всех элементов пространства , которые принадлежат одновременно и .

Очевидно, что нулевой элемент пространства содержится в любом его подпространстве. Поэтому нулевой элемент содержится в и в .

Утверждение 5. Если и – подпространства пространства , то и , и являются подпространствами пространства . (Докажите самостоятельно.)

Теорема 8. Пусть и – конечномерные подпространства пространства . Тогда

.

(Без доказательства. Доказательство см. в [3].)

Если , то всякий элемент можно представить в виде , где , . Но такое представление может оказаться не единственным, т.е. возможно еще , где и . Выделим случай, когда любой элемент только одним способом можно представить указанной суммой.

Определение. Пусть – сумма подпространств и . Если любой элемент единственным способом может быть представлен в виде , где , , то называется прямой суммой подпространств и : .

Теорема 9. Пусть и – конечномерные подпространства пространства , и . Пусть – базис в , а – базис в . Чтобы сумма была прямой суммой и , необходимо и достаточно, чтобы система элементов образовывала базис в .

(Без доказательства. Доказательство см. в [3, 4].)

Замечание. В условиях теоремы 9 ,

а .

Если пространство конечномерно, то его можно представить в виде прямой суммы одномерных линейных оболочек, натянутых на базисные векторы: , где – базис в . Можно и другими способами представить в виде прямой суммы своих подпространств, не обязательно размерности 1.

Задача. Приведите примеры подпространств и , сумма которых не является прямой суммой; является прямой суммой.