- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •5. Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9.Непрерывность функции в точке и в интервале. Свойства непрерывных функций.
- •10. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Замечательные пределы. (на примере)
- •11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12. Производная функции. Геометрический смысл производной.
- •13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции (таблица). Понятие о логарифмической производной(порядок логарифмического дифференцирования. Показать на примере)
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29. Интегрирование рациональных функций.
1. Последовательности. Определение,
способы задания, действия с последовательностями.
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
- 2, 4, 6, 8, …, , … (монотонная неограниченная),
- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).
Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.
Пример. Дана формула общего элемента последовательности . Написать пять первых элементов последовательности.
Полагая последовательно в общем элементе получаем , , , , .
Действия с последовательностями:
-сложение последовательностей;
-вычитание последовательностей;
-умножение последовательностей;
-деление последовательностей.
2.Предел последовательности. Сходимость.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .
Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
3.Свойства сходящихся последовательностей.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.
1.Сходящаяся последовательность ограничена.
2.Пусть , , тогда , , , .
3.Если , и для всех выполняются неравенства , то .
4.Если и последовательность - ограниченная, то (произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).
4. Бесконечно малые функции и их свойства.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.