Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 15,16,17.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
01.12.2018
Размер:
1.31 Mб
Скачать

-30-

Раздел 7 дифференциальные уравнения Глава 15. Основные понятия

При изучении природных и общественных явлений не всегда удается непосредственно найти законы, которым подчиняются величины, характеризующие эти явления. В то же время можно установить зависимость между этими величинами и их производными или дифференциалами.

Зависимость, связывающая независимую переменную x, неизвестную функцию этой переменной и ее производные (или дифференциалы) различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

.

В частных случаях в уравнение могут не входить , и ее некоторые производные порядка ниже, чем .

Пример 15.1. Уравнение радиоактивного распада

,

где – постоянная распада, – количество неразложившегося вещества в момент времени , скорость распада пропорциональна количеству распадающегося вещества.

Пример 15.2. Уравнение движения точки массы под влиянием силы (второй закон Ньютона)

.

Произведение массы на ускорение равно силе, которая зависит от времени, положения точки и ее скорости.

Пример 15.3. Уравнение распространения эпидемий,

,

где – число незараженных индивидов в момент времени , и – число зараженных и незараженных людей в начальный момент времени соответственно, – коэффициент пропорциональности (зависит от вида инфекции).

Пример 15.4. “Уравнение социальной диффузии” (Дж. Коулмен),

,

представляет собой модель распространения новшеств, т.е. распространения в определенных социальных группах образцов поведения, моды, информации, культурных новинок. Здесь – число сторонников новшества в данный момент времени; – общая численность рассматриваемой группы; – число контактов, завязываемых каждым сторонником в единицу времени; – коэффициент, изменяющийся от 0 до 1 и отражающий тот факт, что не каждый контакт сторонника новшества с несторонником предполагает агитирование последнего, а также то, что не каждая агитация заканчивается успехом; – скорость увеличения числа сторонников новшества.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение , содержащее независимых произвольных постоянных .

Независимость произвольных постоянных означает, что ни одну из них нельзя выразить через другие и тем самым уменьшить их число.

Общим интегралом дифференциального уравнения -го порядка называется его общее решение, выраженное в виде неявной функции

.

Частным решением дифференциального уравнения -го порядка называется такое его решение, в котором произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения. Для того, чтобы найти частное решение, необходимо задать дополнительные условия в некоторой точке . Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.