§ 19. Понятие равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора
Пусть функция
определена в некотором промежутке X
(промежуток X может быть замкнутым
или нет, конечным или бесконечным). Пусть
точка
и
непрерывна в точке
.
Это означает, что
или ("на языке
"):
любому числу
отвечает число
такое, что как только
и
,
так сейчас же
.
Предположим теперь,
что функция
непрерывна во всем промежутке X, т.
е. непрерывна в каждой точке
этого промежутка. Тогда для каждой точки
из Х в отдельности по заданному
числу
найдется число
такое, что как только
хе
X и
,
так сейчас же
.
Следует отметить, что при изменении
положения точки
в промежутке X (при неизменном числе
)
число
будет, вообще говоря, меняться. Из рис.
3.11 видим, что число
,
пригодное на участке, где функция
изменяется медленно (график функции
представляет пологую кривую) может
оказаться слишком большим для участка
быстрого изменения функции (где график
круто поднимается или опускается).
Видим, таким
образом, что число
выбирается по числу
,
и для каждой точки
оно будет своим, т. е.
зависит и от
,
и от положения точки
на промежутке X.
По отношению к
функции
,
непрерывной в промежутке X, возникает
вопрос: нельзя ли для каждого, заданного
заранее, числа
указывать число
такое, которое годилось бы для любого
положения точки
на промежутке X.
Ответ: не всегда. Убедимся в этом на примере.
Пусть
.
Станем рассматривать эту функцию на
промежутке X = (0, 1]. Заметим,
что функция
непрерывна на промежутке (0, 1].
Возьмем какое-нибудь
число
(например,
)
и покажем, что по этому
нельзя найти
такое, которое годилось бы для любого
положения точки
на промежутке (0, 1]. Рассуждаем от
противного. Допустим, что такое
есть. Возьмем натуральное число
(
)
столь большим, чтобы было:
.
Но тогда и подавно:
.
Положим
;
.
Ясно, что
.
Однако
.
В случае, когда
для любого, сколь угодно малого, числа
можно указать число
такое, что неравенство:
влечет за собой неравенство
,
где бы в пределах рассматриваемого
промежутка X ни лежали точки
и
,
функцию
называют равномерно непрерывной
на промежутке X.
В этом случае число
оказывается зависящим только от
,
т. е.
годится для любого положения точки
на промежутке X.
Определение
равномерной непрерывности функции
на промежутке X можно сформулировать
и следующим образом.
Функция
называется равномерно непрерывной на
промежутке X, если любому числу
отвечает число
,
зависящее только от
,
такое, что для любых двух точек
и
из промежутка X, для которых:
,
оказывается:
.
(Важно подчеркнуть
еще раз, что здесь
и
— любые две точки из промежутка X,
отстоящие друг от друга на расстоянии,
меньшем, чем
и что
зависит только от
.)
Для случая, когда
промежуток X является замкнутым
промежутком
имеет место следующая теорема.
Теорема Кантора.
Если функция
определена и непрерывна в замкнутом
промежутке
,
то она и равномерно непрерывна в этом
промежутке.
► Рассуждаем от
противного. Допустим, что функция
непрерывна на
не равномерно. Это означает, что не
всякому
отвечает
в смысле определения равномерной
непрерывности. Следовательно, имеется
хотя бы одно
,
которому не отвечает никакое
в смысле определения равномерной
непрерывности.
Возьмем
.
Не может оказаться, чтобы для всех пар
точек
и
из
,
для которых
,
было бы
.
(В противном случае
отвечало бы
в смысле определения равномерной
непрерывности; у нас же
не отвечает никакое
.)
Следовательно, в промежутке
обязательно найдется хотя бы одна пара
точек
и
,
такая, что хотя
,
однако
.
Возьмем
.
Не может оказаться, чтобы для всех пар
точек
и
из
,
для которых
,
было бы
.
(В противном случае
отвечало бы
в смысле определения равномерной
непрерывности.) Следовательно, в
промежутке
обязательно найдется хотя бы одна пара
точек
и
,
такая, что хотя
,
однако
,
и т. д.
Возьмем
.
Не может оказаться, чтобы для всех пар
точек
и
из
,
для которых
,
было бы
.
(В противном случае
отвечало бы
в смысле определения равномерной
непрерывности.) Следовательно, в
промежутке
обязательно найдется хотя бы одна пара
точек
и
,
такая, что хотя
,
однако
,
и т. д.
Таким образом, у нас выстраиваются две последовательности:
,
,
…,
,
…, (1)
,
,
…,
,
…, (2)
обладающие
свойствами: при всех
,
,
.
Из того, что
,
т. е.
при всех
,
следует, что
.
(3)
Из того, что
,
т. е.
при всех
,
следует, что последовательности (1) и
(2) — ограниченные.
Так как
последовательность (1) ограниченная, то
по принципу выбора Больцано — Вейерштрасса
из нее можно выделить подпоследовательность
,
имеющую конечный предел. Пусть
.
(4)
Заметим, что
,
ибо при всех
:
.
Из последовательности (2) выделим
подпоследовательность:
.
(5)
Подпоследовательность
(5) выделяем из последовательности (2) не
по принципу выбора Больцано-Вейерштрасса,
а так, чтобы индексы подпоследовательности
соответствовали индексам подпоследовательности
.
Ясно, что тогда
.
(6)
Имеем
,
откуда, принимая во внимание (4) и (6),
находим
.
По условию функция
непрерывна в промежутке
.
Было отмечено, что точка
.
Значит,
непрерывна в точке
.
Следовательно, из того, что
,
следует, что
;
из того, что
,
следует, что
,
а значит,
.
Последнее означает,
что любому
,
в частности,
,
отвечает номер
такой, что
при всех
.
Но у нас при всех
:
,
следовательно, в частности, при всех
:
.
Видим, что получили противоречие.
К этому противоречию
мы пришли, предположив, что функция
не является равномерно непрерывной на
промежутке
.
Значит,
— равномерно непрерывная на промежутке
.
◄
Пусть функция
определена в промежутке
и является там ограниченной, т. е.
ограниченным является множество
,
.
Но тогда существуют
и
.
Разность
называется колебанием функции
в промежутке
.
Отметим, что если функция
непрерывна на промежутке
,
то колебание
есть разность между наибольшим и
наименьшим значениями функции
в промежутке
.
Разобьем промежуток
точками
на
частей. Получим частичные промежутки
,
.
Пусть
— наибольшая из длин частичных
промежутков, т. е.
;
называется рангом дробления
промежутка
.
Следствие из
теоремы Кантора. Если функция
непрерывна в замкнутом промежутке
,
то любому
отвечает
такое, что для любого способа разбиения
промежутка
на части
,
,
у которого ранг дробления
,
будет
одновременно для всех
.
(Здесь
— колебание функции
в промежутке
).
► По условию
непрерывна на промежутке
.
А тогда по теореме Кантора функция
равномерно непрерывна на
.
Следовательно, любому
отвечает число
,
зависящее только от
,
такое, что для любых двух точек
и
из
,
для которых
,
будет:
.
Пусть
— разбиение промежутка
на части
— любое, но такое, что
.
Рассмотрим произвольный частичный
промежуток
.
Так как функция
непрерывна в замкнутом промежутке
,
то она достигает в этом промежутке своих
наибольшего
и наименьшего
значений. Пусть
,
где точки
принадлежат
.
Имеем
.
А потому
,
т. е.
или
для всех
.
◄