Тема 2. Анализ и вычислительная математика
01. Из-за ограниченной точности машинной арифметики для достаточно малых чисел x>0 выполняется равенство 1+x=1. Написать программу, определяющую наибольшее положительное число типа float, для которого оно выполняется. (такое число называется «машинным нулем»)
02. Придумайте последовательность из 1000 чисел типа float, по модулю не превосходящих 1, при суммировании которой в прямом и обратном порядке результаты будут отличаться не менее, чем на 0.00001.
03. Написать программу, которая для любого вещественного числа х>0 находит его порядок и 24 значащих цифры мантиссы в двоичной системе счисления.
04. Пусть f(x) - кубический многочлен, например х3+3*х-1. Вычислить производную f'(x) функции f(x) приближенно по формулам (f(x+h)-f(x-h))/(2*h) и (f(x+h)-f(x))/h при различных x и h. Определить, какая формула дала более точный результат.
05. Вычислить максимальное значение кубического многочлена на заданном отрезке.
!! При решении задач 06-09 нужно использовать функцию f, оформляя ее отдельно:
float f(float x){ ... }
06. Вычислить корень уравнения f(x)=0 на отрезке методом деления пополам.
07. Вычислить корень уравнения f(x)=0 на отрезке методом хорд.
08. Вычислить корень уравнения f(x)=0 методом Ньютона, считая, что производная df(x) задана отдельной функцией, а начальное приближение - вручную.
09. Вычислить интеграл функции на отрезке методом трапеций.
10. Вычислить корень n-ой степени методом Ньютона.
11. Функции х(t) и y(t), где 0<=t<=1, задают кривую на плоскости. Найти длину этой кривой, приближая ее: а) отрезками; б) дугами окружностей.
12. Вычислить sin(х) для -1000<х<1000 с точностью 0.001, используя формулы приведения и разложение sin(х) в ряд по степеням х. Проверить результат, сравнив его с результатом стандартной функции sin.
13. Вычислить сумму ряда с k-ым членом вида 1/(k*(k+x)) для x=0,0.1,...,1 с 4 верными знаками.
!! В задачах 14-15 функция на отрезке задана массивом Т значений в равноотстоящих точках отрезка [А,В].
14. Используя а) квадратичную, б) линейную интерполяцию, вычислить значение функции у и ее производной dу в заданной точке х
15. Используя квадратичную интерполяцию, вычислить при каком значении аргумента функция достигает максимального значения на отрезке.
16. Написать программу, которая по n значениям аргумента X и n заданным значениям Y многочлена степени n-1 находит значение этого многочлена в точке x.
17. В точках А и В заданы значения функции и ее производной. Используя кубическую интерполяцию, вычислить приближенные значения функции и производной в заданной точке отрезка [A,B].
18. Массивы I, U содержат результаты n измерений тока и напряжения на неизвестном сопротивлении R. Найти приближенное значение R методом наименьших квадратов (т.е. минимизировать sum((U[i]-R*I[i])2) ).
19. Построить а) линейную б) параболическую аппроксимацию результатов n измерений значений функции по методу наименьших квадратов.
20. Тело падает с высоты h , испытывая сопротивление, пропорциональное квадрату скорости, т.е. ускорение тела определяется формулой а = 9.8 - k*v2 Найти время падения и скорость удара о землю для h=1000 м, k=0.004/м