- •Асимптоты.
- •Из таблицы следует, что меняет знак при переходе через точку , но тогда по теореме 6 эта точка является абсциссой точки перегиба.
- •Знаки функций. , если и , если . Корни уравнения известны: и . Кривая знаков имеет вид (рис.12) рис.13
- •Строим график функции (рис.15)
- •Литература.
- •Предельная себестоимость характеризует себестоимость c прироста продукции q
- •II. Исследование функций с помощью производных.
Литература.
-
Г.М. Фихтенгольц. "Основы математического анализа" Т.1. Издательство "наука", М., 1964.
-
Н.С. Пикунов. "Дифференциальное и интегральное исчисления". Т.1. Издательство "Наука". М., 1976.
-
В. И. Смирнов. "Курс высшей математики". Т.1. Издательство "Наука". М., 1974.
-
М. С. Красс. "Математика для экономических специальностей". ИНФРА. М., 1998.
-
В. Е. Шнейдер и др. "Краткий курс высшей математики". Т.1. Издательство "Высшая школа". М., 1978.
Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение: 1. ОДЗ:
2. Функция общего вида.
3. График функции пересекается с осью , когда , т.е. в точке . С осью график не пересекается, т.к. не входит в ОДЗ функции. Внутри ОДЗ – интервале - точек разрыва функции нет.
4. Так как всюду в ОДЗ, то знак функции определяется знаком числителя. Так как для и для , то функция отрицательна на интервале .
5. Для нахождения критических точек найдем производную .
Производная существует всюду в ОДЗ и равна нулю, если , т.е. в точке , если или
, если или .
Таким образом, функция возрастает при и убывает при . При переходе через точку производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, - точка, в которой функция достигает максимума.
6. Уравнение вертикальной асимптоты (ось ), так как
б) наклонные асимптоты:
,
- наклонная асимптота, т.е. наклонной асимптотой является ось .
-
Вычисляем .
, если , т.е. при , т.е. кривая выпукла для , , т.е. кривая вогнута для .
Так как меняет знак при переходе через точку , то эта точка есть абсцисса точки перегиба: .
.
Для построения графика функции сводим в таблицу результаты исследования.
|
|
0 |
|
|
|
||
+ |
1 |
+ |
0 |
- |
- |
||
- |
-3 |
- |
- |
0 |
+ |
Рис.10.
Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.
-
ОДЗ определяем из условия , откуда , т.е. ОДЗ является вся ось кроме точек .
-
Функция является периодической, четной (т.к. функция периодическая и четная). Период равен . График функции симметричен, поэтому для его построения достаточно исследовать функцию на отрезке , и затем периодически продлить его на всю ось .
-
График функции пересекается с осью в точке . С осью график ни где не пересекается, так как ни при каком конкретном не равен нулю. Точки разрыва функции - точки разрыва второго рода.
На рассматриваемом отрезке
, а и , а .
-
Функция положительна при и при и отрицательна при .
-
Для нахождения экстремума вычислим и .
Суть понятия предела функции f(x) при xx0 в том, что если он существует и равен числу b, то отличие функции от предела |b-f(x)| можно сделать сколь угодно малым, приближая x к x0. Сколь угодно малым означает, что это отличие будет меньше любого наперед заданного числа >0, как бы мало не было. Иными словами: если всегда найдется x достаточно близкое к x0, при котором |b-f(x)|< , то число b есть предел функции f(x) при xx0.
Строгое понятие предела “на языке “ дает определение 1.
Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x = x0, кроме, быть может, самой точки x0.
Число b называется пределом функции f(x) при xx0, если для любого числа >0 как бы мало оно ни было, найдется такое число >0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0<|b-f(x)|< , будет выполняться неравенство |b-f(x)|< .
В этом случае пишут:
f (x)=b (1)
Из определения следует, что в самой точке x0, функция f(x) может быть не определена, то есть при образовании предела функции предельное значение x0 переменной x не учитывается. Это делает возможным сокращение под знаком предела при xx0 множителей вида (xx0), стоящих в числителе и в знаменателе, что удобно при вычислении пределов.
Особый интерес представляет случай, когда предел функции f(x) при xx0 совпадает со значением функции в точке x0, т.е. когда
f (x) f (x0) (2)
В этом случае говорят, что функция f(x) непрерывна в точке x0; если же соотношение (2) нарушено, то говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет разрыв.
Понятие производной базируется на понятии предела.
Определение 2. Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке y к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю любым способом.
Обозначается производная одним из символов y’(x0), f’(x0), ; таким образом, можно записать
(3)
В общем случае производная является функцией и от неё так же можно находить производную, которую называют производной второго порядка (второй производной).
Вторую производную обозначают символами:
, ; (4)
От второй производной можно находить третью производную и т.д.
К пределу (3) приводят многочисленные задачи в различных областях науки. В связи с этим существуют: механический смысл производной, геометрический смысл производной и т.п.
В экономике производная применяется для выражения предельных показателей: себестоимости и эластичности.
Поскольку себестоимость C произведенной продукции зависит от ее объема Q, то:
C = f (Q) (5)