![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
4. Парабола
Дадим общее определение рассмотренных линий: геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε, есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, ε > 1.
Что представляет собой геометрическое место точек, определенное аналогичным образом при условии, что ε = 1?
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Для
вывода уравнения параболы ведем на
плоскости прямоугольную систему
координат так, чтобы ось абсцисс проходила
через фокус перпендикулярно директрисе,
и будем считать положительным направлением
направление от директрисы к фокусу.
Начало координат расположим посередине
между фокусом и директрисой. В этой
системе координат фокус
,
а директриса задается уравнением
.
Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.
Пусть
М – произвольная точка параболы,
,
d
– расстояние от М до директрисы, р
– расстояние от фокуса до директрисы.
Величину р
называют параметром
параболы.
Точка М будет лежать на данной параболе
в том и только том случае, когда
:
.
Обозначим
через Q
основание перпендикуляра, опущенного
из точки М на директрису. Очевидно
y2
= 2px. (4)
(4) – каноническое уравнение параболы.
Исследуем форму параболы по её уравнению.
Так
как уравнение (4) содержит у
только в четной степени, то парабола
симметрична относительно оси Ох
достаточно рассмотреть часть параболы,
лежащую в верхней полуплоскости (
)
:
– если
х <
0, то уравнение дает мнимые значения у
левее оси Оу
ни одной точки параболы нет;
– если
х
= 0, то у
= 0
начало координат лежит на параболе и
является самой «левой» её точкой;
– при
возрастании х
возрастает у,
причем если
,
то
.
Таким
образом, переменная точка
,
перемещающаяся по параболе, исходит из
начала координат с ростом х и движется
«вправо» и «вверх», причем при
точка М бесконечно удаляется как от оси
Оу,
так и от оси Ох.
Симметрично отражая рассмотренную
часть параболы относительно оси Ох,
получаем всю параболу.
Точка О пересечения параболы с осью абсцисс называется ее вершиной. Ось координат Ox является осью симметрии и называются ее осью параболы.
Геометрический
смысл параметра
р
состоит в том, что он характеризует
«ширину» области, ограниченной параболой:
пусть
и
– симметричные относительно оси параболы
точки. Расстояние
тем больше, чем больше р.
Замечание.
Если в системе координат ось ординат
перпендикулярна директрисе d,
а парабола расположена в верхней
полуплоскости, то уравнение параболы
x2
= 2py можно
записать в хорошо известном виде
квадратичной функции .
При этом директриса расположена в нижней
полуплоскости системы координат и
задается уравнением
.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Задача: Зная координаты точки в одной системе координат, найти её координаты в другой системе.
1. Параллельный перенос осей координат
Д
у
в ней. Перенесем начало координат в
точку
,
не изменяя направления осей. Получим
новую систему координат
О1ХУ.
Выразим Х, У через х, у. При любом
расположении точек будем иметь: ОА + АР
= ОР, где ОА = а, ОР = х, АР = Х.
аналогично для У: