3. Построение критерия проверки гипотезы.

Пусть необходимо проверить простую гипотезу H₀={}, состоящую в предположении о виде функции плотности распределения случайной величины Х с вполне определенными параметрами .Построим критерий, однозначно принимающий или отвергающий проверяемую гипотезу по полученной в наблюдении за случайной величиной Х выборке объема n. Помимо основной гипотезы H₀ (“нулевой”) рассмотрим еще одну или несколько альтернативных гипотез H₁,H₂,H₃, …,H_m каждая из которых противоречит основной.

Критерий проверки гипотезы состоит из двух составляющих:

Во-первых, в качестве критерия принимается некоторая случайная величина К, с известными распределениями при условии справедливости основной и альтернативных гипотез j=0,1, ..m и значения которой можно вычислить по наблюдаемой выборке х_В, т.е.

Во-вторых, строится решающее правило для критерия проверки, согласно которому гипотеза будет приниматься или отвергаться. Для этого, назовем критической областью критерия те значения величины К, при которых гипотеза отвергается. Критическую область будем обозначать К_кр. Тогда решающее правило критерия проверки будет следующим:

k_набл  К_кр  H₀ отвергается (по наблюдаемой выборке),

k_набл  К_кр  H₀ принимается (нет оснований отвергать гипотезу).

Точки значения критерия К, где критическая область критерия проверки К_кр отделяется от области принятия гипотезы К_пр, называются критическими точками критерия k_кр. Как построить критическую область критерия или, что равносильно, как найти критические точки критерия? Ниже рассмотрим ответ на этот вопрос.

Зададимся вероятностью  ошибки I-го рода, как наиболее значимой. Исключить такую ошибку при проверке гипотезы невозможно (), но в вероятностных задачах это не является трагедией. На практике обычно эту вероятность задают достаточно малой величиной  0,005 и называют уровнем значимости критерия. Если из условия

Р( k К_кр ) = dx = 

можно определить критические точки k_кр однозначно, то задача построения критической области критерия решена. В противном случае, когда еще остается свобода выбора критических точек, рассмотрим влияние альтернативных гипотез. Поскольку величина

есть вероятность правильного отбрасывания H₀ при условии справедливости H_j, то ее называют мощностью критерия по отношению к альтернативной гипотезе H_j. Поэтому, при заданном уровне значимости , критическую область критерия нужно строить так, чтобы мощность критерия была максимальной, а именно:

(1 - _j ) max , для наиболее мощного критерия (НМК) относительно гипотезы H_j , максимизация проводится по параметрам сложной гипотезы.

min (1 - _j ) max, для равномерно наиболее мощного критерия (РНМК), в случае наличия нескольких сложных гипотез.

Величина _j - есть вероятность принять неверную гипотезу H₀ при условии справедливости альтернативной гипотезы H_j. На рис. 13.1 приведена графическая интерпретация алгоритма построения критической области одномерного критерия. Видим, что структура критической области зависит от наличия альтернативных гипотез и их “расположения” относительно основной.

Рис. 13.1. Двухсторонняя критическая область критерия

К_кр={ k>k₂, k<k₁} при наличии двух альтернативных гипотез Н₁, Н₂.

Лекция № 14

Примеры построения критериев проверки гипотез