1.3 Дифференцирование сложных функций, состоящих из нескольких звеньев
Правило дифференцирования сложной функции можно распространить и на тот случай, когда число простейших функций, из которых составлена данная сложная функция, более двух.
Например,
если данная функция y=f(x)
такова, что ее можно представить в виде
некоторой функции промежуточного
аргумента v,
а v
есть функция аргумента х, то нахождение
производной 
производится путем последова-тельного
применения правила (6).
В результате получим:
1.4 Дифференцирование неявных функций
Если зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением y=f(x), т.е. уравнением, которое разрешимо относительно у, то у называется явной функцией от аргумента х.
Если же зависимость между переменными х и у задана уравнением F(x,y)=0, которое не разрешимо относительно функции у, то у называется неявной функцией от аргумента х. Чтобы найти производную у′ неявной функции у, определяемой уравнением F(x,y)=0 надо продифференцировать по переменной х обе части этого равенства, считая, что у есть функция от х, затем полученное уравнение решить относительно производной у′.
1. Пример. Найти производную y′ функции у, определяемой уравнением x2+y2-2x+6y-15=0
Решение: Дифференцируем по переменной х обе части равенства, считая, что у есть функция от х.
2х+2yy′-2+6y′=0
Решаем полученное уравнение относительно искомой у′
2yy′+6y=2-2x
yy′+3y=1-x
y(y+3)=1-x
y=
Найти производную y′ функции у, заданной неявно
2. y8 – tg y +cos x – x4 =0 3. y2tg x – cos(x - y)=0
4. x3+yx2+y2=0 5. tg y – xy=0
6.
cos (x+y) – y=0 7.
x2y+arctg
=0
8.
ex+y
– ln sin
=0
9. x2+2xy – y2=2x Чему равно y′, если x=2, y=4
10. y2=2px (парабола)
11.
+ 
=1 (эллипс)
12.
+
=
(парабола)
13. x2/3+y2/3=a2/3 (астроида)
14.
arctg
=ln
(логарифмическая спираль)
Найти производные функции:
15.
y = 
- 2x2
+4x – 5 16. y = 
+ 
+ 
17.
y = 
18. y = x + 
+ 
19.
y = 
- 
+ x 20. y = 3x - 6
21.
y = (1 - 
)2
22. y = 6
- 4
23.
y = x + 2
24. y = (1- 
)2
25.
y = (
- 
)2
26. y = x2
- 3x5
27.
y = 
28. y = 
- 
29.
y = 
- 
30. y = x –sin x
31. y = x – tg x 32. y = x2 cos x
33.
y = x2
ctg x 34. y = 
35.
y = 
36. y = 
37.
y = 
38. y = 
39.
y = 
40. s = 
41. x = a(t - sint), a – const
42.
f(x)=
-
x3+x
Найти
f ′(0) f′(1) f′ (-1)
43.
f(x)=x2
-
Найти f
′(2) f′(-2)
44.
f(x)
Найти 0,01 f′(0,01)
45.
y
=
46. y
= xlnx-x
47.y = ex (x2-2x+2) 48 y = ex(sinx-cosx)
49.y = x3ctgx 50. y = 3xarcsinx
51.
y = (1+x2)
arctgx 52. y = 
53.
y = 
54. y = 
Найти производные сложной функции:
55. y = sin 6x 56. y = cos(a - bx)
57.
y = sin 
+ cos 
58. y = 6 cos 
59.
y = (1 – 5x)4
60. y = 
61.
y = 
62. y = 
63.
y = 
64. y =sin4
x
65. y = sin2 x 66. y = cos2 x
67. y = sec2 x 68. y = sin3 x + cos3 x
69.
y = tg3
x – 3tg x + 3x 70. y = 
71.
y = sin 
72. y = 
- 
73.
y = 
74. y = ctg3
75.
y = 
76. y = x 
77.
y = 
78. y = a cos2
79.
r = a
80. r = 
81.
f(t) = 
, найти:
f′
),
f′(
),
f′
)
82.
f(x) = 
, найти:
f′(x)
83.
y = 
84. y = x2
85.
y = sin4
x +cos4
x 86. y = 
87.
y = tg x + 
tg3
x + 
tg5
x 88. y = sin2
x3
89.
y = 
90. s = 
91.
r = cosⱷ
92.
y = 
93.
f(t) = 
, найти:
f′
94.
y = ln tg 
0 95. y = ln
96.
y = 
– 
arctg 
97. y = - 
+ ln 
98.
y = ln
, ([a]<[b])
99.
y = 
(ln3
x + 3 ln2
x + 6 ln x + 6) 100. y = 
ln 
- 
101.
y = 
(1 - 
)2
+ 3 ln (1+ 
)
102.
y = ln 
103.
y = x (sin ln x – cos ln x) 104. y = ln tg 
- cos x ln tg x
105.
y = arcsin 
106. y = arctg
107. y = ln (1+sin2x) – 2 sin x arctg (sin x)