3.1.1. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины - одна из форм закона распределения.

Наибольшее распространение в теории надежности имеют события вида Хх, то есть случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого действительного числа х. Рассматривая действительное число х как независимую переменную, получают интегральную функцию распределения случайной величины Х.

Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность события Х<х для каждого значения аргумента х, то есть

F(x)=P(Х<х).

Геометрически это значит, что F(x) - вероятность того, что случайная величина х примет значение, изображенное на числовой оси точкой, расположенной левее точки х (рис. 7).

Рис. 7. Геометрический смысл интегральной функции распределения

Интегральная функция F(x), как всякая вероятность, - величина безразмерная. Она полностью характеризует случайную величину (с вероятностной точки зрения) и является самой универсальной характеристикой случайной величины, т.к. существует и для дискретных, и для непрерывных случайных величин. Для краткости используют следующие термины:

1) интегральная функция распределения;

2) интегральная функция;

3) функция распределения.

3.1.2. Дополнение интегральной функции распределения вероятностей случайной величины

Определяется вероятность противоположного события Х>х.

Дополнение интегральной функции - это функция P(x)=(x), определяющая для каждого значения аргумента х вероятность события X>x, то есть случайная величина Х примет значение, большее х, или

P(x)=P(Х<х)= (x)=1-F(x).

Геометрически - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, изображенное на числовой оси точкой, расположенной правее х (рис. 8).

Рис. 8. Геометрический смысл дополнения интегральной функции распределения

События X<x и X>x (например, отказ и отсутствие отказа объекта) - случайные несовместные противоположные события, образующие полную группу.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, то есть

F(x)+P(x)=1. (8)

Следовательно, можно определить одну из этих функций, если известна другая.

Интегральная функция и ее дополнение в теории надежности характеризуют различные случайные величины: время работы объекта до отказа, ресурс и срок службы объекта, время восстановления объекта, срок сохраняемости объекта.

3.1.3. Свойства интегральной функции распределения

1. Интегральная функция распределения изменяется в пределах 0F(x)1, то есть всегда положительна и не больше единицы.

2. Интегральная функция распределения не убывает, то есть F(x1)F(x2), если х1х2.

3. Вероятность попадания случайной величины Х на интервал (a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале (рис. 9):

P(aXb)=F(b)-F(a). (9)

Рис. 9. График вероятности попадания случайной величины

4. Вероятность любого определенного значения непрерывной случайной величины равна нулю:

Р(Х=х₁)=0.

5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), тогда