- •§ 1. Состояния электрона в одномерной решетке
- •§ 2. Состояния определенной энергии
- •§ 3. Состояния, зависящие от времени
- •§ 4. Электрон в трехмерной решетке
- •§ 5. Другие состояния в решетке
- •§ 6. Рассеяние па нерегулярностях решетки
- •§ 7. Захват нерегулярностями решетки
- •§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния
- •§ 2. Примесные полупроводники
- •§ 3. Эффект Холла
- •§ 4. Переходы между полупроводниками
- •§ 5. Выпрямление на полупроводниковом переходе
- •§ 6. Транзистор
- •§ 2. Две спиновые волны
- •§ 3. Независимые частицы
- •§ 4. Молекула бензола
- •§ 5. Еще немного органической химии
- •§ 6. Другие применения приближения
- •§ 2. Волновая функция
- •§ 3. Состояния с определенным импульсом
- •§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
- •§ 5. Уравнение Шредингера
- •§ 6. Квантованные уровни энергии
- •§ 2. Симметрия и ее сохранение
- •§ 3. Законы сохранения
- •§ 4. Поляризованный свет
- •§ 5. Распад 0
- •§ 6. Сводка матриц поворота
- •Глава 16
- •§ 2. Рассеяние света
- •§ 3. Аннигиляция позитрония
- •§ 4. Матрица поворота для произвольного спина
- •§ 5. Измерение ядерного спина
- •§ 6. Сложение моментов количества движения
- •Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
- •Атом водорода
- •§ 2. Сферически симметричные решения
- •§ 3. Состояния с угловой зависимостью
- •§ 4. Общее решение для водорода
- •§ 5. Волновые функции водорода
- •§ 6. Периодическая таблица
- •Глава 18 операторы
- •§ 2. Средние энергии
- •§ 3. Средняя энергия атома
- •§ 4. Оператор места
- •§ 5. Оператор импульса
- •§ 6. Момент количества движения
- •§ 7. Изменение средних со временем
- •§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
- •§ 3. Два рода импульсов
- •§ 4. Смысл волновой функции
- •§ 5. Сверхпроводимость
- •§ 6. Явление Мейсснера
- •§ 7. Квантование потока
- •§ 8. Динамика сверхпроводимости
- •§ 9. Переходы Джозефсона
§ 4. Оператор места
Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |> каково среднее значение координаты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить
электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.
Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.
Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что P(x)=| (x)|2=*(x) (х), значит, среднее х можно записать в виде
Наше уравнение для <x>ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя оператор, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали
где
и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |>, чтобы было
Разложим сперва <|> по x-представлению:
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)
Воздействие на |> оператора х^ для получения |> равнозначно умножению (x)=<x|> на х для получения (х)=<x|>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представлении.
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что
Тогда вы сможете доказать поразительную формулу
т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)
А может, вы хотите знать среднее значение x2? Оно равно
Или, если желаете, можно написать и так:
где
Под x^2 подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x2>ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хn или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.
§ 5. Оператор импульса
Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда
Обозначим теперь через <р|> амплитуду того, что состояние |> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|>; она является функцией от р, как <x|> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было
Тогда получится
что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.
При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:
Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <|> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |> определяется в импульсном представлении уравнением
Иначе говоря, теперь можно писать
причем
где оператор р^ определяется на языке p-представления уравнением (18.47).
[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:
и что
Выводится это так же. как и для х.
Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора р^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция (x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция (x)=<x|>?
Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.
Напишем
Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию (x)=<x|>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|> связано с <x|>. Согласно уравнению (14.24),
Если нам известно <р|>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через (x)=<x|>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем
Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл
Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|> равно p(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|>=(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.
К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная e-ipx/h по х равна (-i/h)pe-ipx/h, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что
Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в
Пока речь идет только о связанных состояниях, (x) стремится к нулю при х±, скобка равна нулю и мы имеем
А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что
Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:
Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |>, то ответ был таков:
То же самое в координатном мире записывается так:
Здесь — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.
Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид
В координатном мире соответствующие уравнения таковы:
Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался
В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид
Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию (x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одномерных задач) между
В этом перечне мы ввели новый символ для алгебраического оператора (h/i)д/дx:
и поставили под значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.
Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса
При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать
где ех, еy и еz — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:
Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытожено в табл. 18.1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах:
либо
либо
Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между.
Если применить дважды, получим
Это означает, что можно написать равенство
Или, в векторных обозначениях,
(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (нерелятивистская) состоит из кинетической энергии р2/2m плюс потенциальная, а у нас — тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.
Таблица 18.1 • АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В гл. 15 мы определили оператор р^х через оператор смещения D^x [см. формулу (15.27)]:
где — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и
Но в правой части стоит просто разложение (x+) в ряд Тэйлора, а (x+)— то, что получится, если сместить состояние влево на б (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения р^ согласуются!
Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х1: х2, x3,... . Запишем ее в виде (x1, х2, х3, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на . Новая волновая функция
может быть записана так:
Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |> (назовем его полным импульсом) равняется
Но это все равно, что написать
Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.